Exercice 3

Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,0\leqslant u_n\leqslant 5\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $u_0=2$ et $0\leqslant 2\leqslant 5$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $0\leqslant u_k\leqslant 5$. Alors, la fonction racine carrée étant croissante : $$0\leqslant u_k\leqslant 5 \implies 15\leqslant u_k+15\leqslant 20 \implies \sqrt{15}\leqslant u_{k+1}\leqslant\sqrt{20}$$ Or $\sqrt{15}\geqslant 0$ et $\sqrt{20}\leqslant\sqrt{25}=5$, donc $0\leqslant u_{k+1}\leqslant 5$, ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; 0\leqslant u_n\leqslant 5}$$