Exercice 2

Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,2\leqslant u_n\leqslant 10\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $u_0=10$ et $2\leqslant 10\leqslant 10$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $2\leqslant u_k\leqslant 10$. En ajoutant $5$ à chaque membre, puis en appliquant la fonction racine carrée, croissante sur $[0\,;+\infty[$ : $$2\leqslant u_k\leqslant 10 \implies 7\leqslant u_k+5\leqslant 15 \implies \sqrt{7}\leqslant u_{k+1}\leqslant\sqrt{15}$$ Or $\sqrt{7}\geqslant\sqrt{4}=2$ et $\sqrt{15}\leqslant\sqrt{100}=10$, donc $2\leqslant u_{k+1}\leqslant 10$, ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; 2\leqslant u_n\leqslant 10}$$