Exercice 32

Partie A

1. Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,u_n>1\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $u_0=2>1$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $u_k>1$. Alors : $$u_{k+1}-1=\frac{1+3u_k}{3+u_k}-1=\frac{1+3u_k-3-u_k}{3+u_k}=\frac{2\left(u_k-1\right)}{3+u_k}$$ Or $u_k-1>0$ et $3+u_k>0$, donc $u_{k+1}-1>0$, autrement dit $u_{k+1}>1$, ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; u_n>1}$

2. (a) Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$\begin{aligned} u_{n+1}-u_n &= \frac{1+3u_n}{3+u_n}-u_n=\frac{1+3u_n-u_n\left(3+u_n\right)}{3+u_n}\\ &= \frac{1-u_n^2}{3+u_n}=\frac{\left(1-u_n\right)\left(1+u_n\right)}{3+u_n} \end{aligned}$$

(b) D'après la question 1., $u_n>1$, donc $1-u_n<0$, tandis que $1+u_n>0$ et $3+u_n>0$ : le quotient est donc strictement négatif. La suite est ainsi décroissante et minorée par $1$, d'où, d'après le théorème de convergence monotone : $$\boxed{(u_n)\text{ est décroissante et converge}}$$

Partie B

1. En faisant fonctionner l'algorithme pour $n=9$, on obtient (valeurs arrondies à $10^{-4}$) :

Les termes sont alternativement inférieurs et supérieurs à $1$, en s'en rapprochant : $$\boxed{\text{On conjecture que }(u_n)\text{ converge vers }1}$$

2. (a) On calcule séparément le numérateur et le dénominateur de $v_{n+1}$ : $$u_{n+1}-1=\frac{1+0{,}5u_n-0{,}5-u_n}{0{,}5+u_n}=\frac{-0{,}5\left(u_n-1\right)}{0{,}5+u_n}$$

$$u_{n+1}+1=\frac{1+0{,}5u_n+0{,}5+u_n}{0{,}5+u_n}=\frac{1{,}5\left(u_n+1\right)}{0{,}5+u_n}$$ En formant le quotient : $$v_{n+1}=\frac{-0{,}5\left(u_n-1\right)}{1{,}5\left(u_n+1\right)}=-\frac{1}{3}v_n$$

(b) Le premier terme vaut $v_0=\dfrac{2-1}{2+1}=\dfrac{1}{3}$, d'où : $$\boxed{v_0=\frac{1}{3} \qquad\text{et}\qquad v_n=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)^n}$$

3. (a) Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$|v_n|=\frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{3}\right)^n=\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\leqslant\frac{1}{3}<1$$ On en déduit que $\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; v_n\neq 1}$

(b) Comme $v_n\neq 1$, on peut isoler $u_n$ : $$v_n=\frac{u_n-1}{u_n+1} \iff v_n\left(u_n+1\right)=u_n-1 \iff u_n\left(v_n-1\right)=-1-v_n$$

(c) Comme $-1<-\dfrac{1}{3}<1$, on a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n=0$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n=0$. Par quotient, le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $1$ : $$\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=1}$$ ce qui valide la conjecture de la question 1.