Exercice 31 Deux méthodes pour déterminer la limite d'une suite

Partie A : première méthode

1. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, en réduisant au même dénominateur : $$2-\frac{3}{u_n+2}=\frac{2\left(u_n+2\right)-3}{u_n+2}=\frac{2u_n+1}{u_n+2}=u_{n+1}$$

2. (a) Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,0\leqslant u_n<1\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $u_0=0$ et $0\leqslant 0<1$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $0\leqslant u_k<1$. Alors $2\leqslant u_k+2<3$, et la fonction inverse étant décroissante sur $]0\,;+\infty[$ : $$\frac{1}{3}<\frac{1}{u_k+2}\leqslant\frac{1}{2} \implies 1<\frac{3}{u_k+2}\leqslant\frac{3}{2}$$ En multipliant par $-1$ puis en ajoutant $2$ : $$2-\frac{3}{2}\leqslant u_{k+1}<2-1 \implies \frac{1}{2}\leqslant u_{k+1}<1$$ Comme $\dfrac{1}{2}\geqslant 0$, ceci prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; 0\leqslant u_n<1}$

(b) Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$u_{n+1}-u_n=\frac{2u_n+1}{u_n+2}-u_n=\frac{2u_n+1-u_n^2-2u_n}{u_n+2}=\frac{1-u_n^2}{u_n+2}$$ Or $0\leqslant u_n<1$ donc $u_n^2<1$ et $1-u_n^2>0$ ; de plus $u_n+2>0$. Le quotient est donc strictement positif : $$\boxed{(u_n)\text{ est croissante}}$$

3. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $1$ : d'après le théorème de convergence monotone : $$\boxed{(u_n)\text{ converge vers un réel }\ell}$$

4. (a) On résout $f(\ell)=\ell$ sur $[0\,;1]$ : $$\frac{2\ell+1}{\ell+2}=\ell \iff 2\ell+1=\ell^2+2\ell \iff \ell^2=1$$ Les solutions sont $1$ et $-1$, or $\ell\in[0\,;1]$ : $$\boxed{\ell=1}$$

(b) On peut proposer l'algorithme suivant :

n = 0
u = 0
while abs(u - 1) >= 10**(-3) :
    u = (2*u+1)/(u+2)
    n = n+1
print(n)

Le programme renvoie $7$ : l'inégalité $|u_n-1|<10^{-3}$ est donc vérifiée à partir du rang $7$, et la valeur $\boxed{N=6}$ convient. (On peut le retrouver avec la partie B : $|u_n-1|=\dfrac{2}{3^n+1}<10^{-3}$ équivaut à $3^n>1999$, or $3^6=729$ et $3^7=2187$.)

Partie B : deuxième méthode

1. On calcule séparément le numérateur et le dénominateur de $v_{n+1}$ : $$u_{n+1}-1=\frac{2u_n+1-u_n-2}{u_n+2}=\frac{u_n-1}{u_n+2} \qquad ; \qquad u_{n+1}+1=\frac{2u_n+1+u_n+2}{u_n+2}=\frac{3\left(u_n+1\right)}{u_n+2}$$ En formant le quotient, les dénominateurs se simplifient : $$v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1}=\frac{u_n-1}{3\left(u_n+1\right)}=\frac{1}{3}v_n$$

2. On en déduit $v_n=-\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$. De plus : $$v_n=\frac{u_n-1}{u_n+1} \iff v_n\left(u_n+1\right)=u_n-1 \iff u_n\left(v_n-1\right)=-1-v_n \iff u_n=\frac{1+v_n}{1-v_n}$$

3. Comme $-1<\dfrac{1}{3}<1$, on a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0$, donc le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $1$ : $$\boxed{(u_n)\text{ converge et }\lim_{n\to+\infty} u_n=1}$$ ce qui confirme le résultat de la partie A.