Exercice 30

1. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $$\begin{aligned} v_{n+1} &= (n+1)u_{n+1}-1\\ &= (n+1)\times\frac{nu_n+1}{2(n+1)}-1\\ &= \frac{nu_n+1}{2}-1=\frac{nu_n-1}{2}=\frac{1}{2}v_n \end{aligned}$$ Le premier terme vaut $v_1=1\times\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2}$ : $$\boxed{(v_n)\text{ est géométrique de raison }\frac{1}{2}\text{ et de premier terme }v_1=\frac{1}{2}}$$

2. On en déduit, pour tout $n\geqslant 1$ : $$v_n=v_1\times\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} =\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=0{,}5^n$$ Or $v_n=nu_n-1$, donc $nu_n=1+0{,}5^n$ et, en divisant par $n\neq 0$ : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N}^*,\; u_n=\frac{1+0{,}5^n}{n}}$$

3. Comme $-1<0{,}5<1$, on a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 0{,}5^n=0$, donc le numérateur tend vers $1$ tandis que le dénominateur tend vers $+\infty$. Par quotient : $$\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=0}$$

4. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on réduit au même dénominateur : $$\begin{aligned} u_{n+1}-u_n &= \frac{1+0{,}5^{n+1}}{n+1}-\frac{1+0{,}5^n}{n}\\ &= \frac{n\left(1+0{,}5^{n+1}\right)-(n+1)\left(1+0{,}5^n\right)}{n(n+1)}\\ &= \frac{n+0{,}5^n\times 0{,}5n-n-1-(n+1)0{,}5^n}{n(n+1)}\\ &= \frac{-1+0{,}5^n\left(0{,}5n-n-1\right)}{n(n+1)}\\ &= -\frac{1+0{,}5^n\left(1+0{,}5n\right)}{n(n+1)} \end{aligned}$$ Or $0{,}5^n>0$ et $1+0{,}5n>0$, donc le numérateur est strictement positif, et le dénominateur également : le quotient précédé du signe $-$ est donc strictement négatif. $$\boxed{(u_n)\text{ est décroissante}}$$