Exercice 29

1re méthode

a) Pour tout $n\in\mathbb{N}$, en réduisant au même dénominateur : $$5-\frac{16}{u_n+3}=\frac{5\left(u_n+3\right)-16}{u_n+3}=\frac{5u_n+15-16}{u_n+3} =\frac{5u_n-1}{u_n+3}=u_{n+1}$$

b) Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,1\leqslant u_n\leqslant 2\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $u_0=2$ et $1\leqslant 2\leqslant 2$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $1\leqslant u_k\leqslant 2$. Alors $4\leqslant u_k+3\leqslant 5$, et la fonction inverse étant décroissante sur $]0\,;+\infty[$ : $$\frac{1}{5}\leqslant\frac{1}{u_k+3}\leqslant\frac{1}{4} \implies \frac{16}{5}\leqslant\frac{16}{u_k+3}\leqslant 4$$ En multipliant par $-1$ puis en ajoutant $5$, ce qui inverse le sens des inégalités : $$5-4\leqslant u_{k+1}\leqslant 5-\frac{16}{5} \implies 1\leqslant u_{k+1}\leqslant\frac{9}{5}$$ Comme $\dfrac{9}{5}\leqslant 2$, ceci prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; u_n\in[1\,;2]}$

c) Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$\begin{aligned} u_{n+1}-u_n &= \frac{5u_n-1}{u_n+3}-u_n=\frac{5u_n-1-u_n\left(u_n+3\right)}{u_n+3}\\ &= \frac{-u_n^2+2u_n-1}{u_n+3}=-\frac{\left(u_n-1\right)^2}{u_n+3} \end{aligned}$$ Le numérateur est un carré, donc positif, et le dénominateur est strictement positif puisque $u_n\geqslant 1$ : ce quotient est donc négatif. $$\boxed{(u_n)\text{ est décroissante}}$$

d) La suite est décroissante et minorée par $1$ : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel $\ell$. En passant à la limite dans la relation de récurrence : $$\ell=\frac{5\ell-1}{\ell+3} \iff \ell^2+3\ell=5\ell-1 \iff \ell^2-2\ell+1=0 \iff (\ell-1)^2=0$$

2e méthode

a) Remarquons d'abord que $u_n>1$ pour tout $n$ : c'est vrai au rang $0$, et si $u_k>1$ alors $$u_{k+1}-1=\frac{5u_k-1-\left(u_k+3\right)}{u_k+3}=\frac{4\left(u_k-1\right)}{u_k+3}>0$$ ce qui assure que $v_n$ est bien défini. On utilise alors cette même égalité : $$\begin{aligned} v_{n+1} &= \frac{1}{u_{n+1}-1}=\frac{u_n+3}{4\left(u_n-1\right)}\\ &= \frac{\left(u_n-1\right)+4}{4\left(u_n-1\right)}\\ &= \frac{1}{4}+\frac{1}{u_n-1}=v_n+\frac{1}{4} \end{aligned}$$

b) On en déduit que $v_n=1+\dfrac{n}{4}=\dfrac{n+4}{4}$, puis, en inversant la relation $v_n=\dfrac{1}{u_n-1}$ : $$\boxed{v_n=\frac{n+4}{4} \qquad\text{et}\qquad u_n=1+\frac{4}{n+4}}$$

c) Comme $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{4}{n+4}=0$, on retrouve bien le résultat de la première méthode : $$\boxed{(u_n)\text{ converge et }\lim_{n\to+\infty} u_n=1}$$