Exercice 28

La relation de récurrence s'écrit $u_{n+1}=\dfrac{u_n+4}{3}$.

1. On applique cette relation : $$\boxed{u_1=\frac{5+4}{3}=3 \qquad\text{et}\qquad u_2=\frac{3+4}{3}=\frac{7}{3}}$$

2. Démontrons par récurrence la propriété suivante : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,u_n\geqslant 2\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $u_0=5\geqslant 2$. Donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons que $u_k\geqslant 2$. Alors : $$u_k\geqslant 2 \implies u_k+4\geqslant 6 \implies \frac{u_k+4}{3}\geqslant 2$$ autrement dit $u_{k+1}\geqslant 2$, ce qui prouve $P_{k+1}$.

Conclusion : Par principe de récurrence : $\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\; u_n\geqslant 2}$

3. Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+4}{3}-u_n=\frac{u_n+4-3u_n}{3}=\frac{4-2u_n}{3}=\frac{2\left(2-u_n\right)}{3}$$ Or $u_n\geqslant 2$ d'après la question 2., donc $2-u_n\leqslant 0$ et ainsi $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$ : $$\boxed{(u_n)\text{ est décroissante}}$$

4. La suite est décroissante et minorée par $2$ : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel $\ell$. En passant à la limite dans la relation de récurrence : $$\ell=\frac{\ell+4}{3} \iff 3\ell=\ell+4 \iff \ell=2$$

5. Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$v_{n+1}=u_{n+1}-2=\frac{u_n+4}{3}-2=\frac{u_n-2}{3}=\frac{1}{3}v_n$$

$$\boxed{(v_n)\text{ est géométrique de raison }\frac{1}{3}\text{ et }v_n=3\left(\frac{1}{3}\right)^n}$$ (le premier terme valant $v_0=u_0-2=3$).

6. La somme $S_n$ est celle des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}\neq 1$ : $$S_n=v_0\times\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{3}} =3\times\frac{3}{2}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)$$ De plus, comme $u_k=v_k+2$ pour tout $k$ : $$T_n=\sum_{k=0}^{n}u_k=\sum_{k=0}^{n}\left(v_k+2\right)=S_n+2(n+1)$$

7. Comme $-1<\dfrac{1}{3}<1$, on a $\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}=0$, donc $S_n$ converge, tandis que le terme $2n+2$ tend vers $+\infty$ : $$\boxed{\lim_{n\to+\infty} S_n=\frac{9}{2} \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty} T_n=+\infty}$$