ExerciceTerminale, chapitre 1 — Suites numériques · Limites de suites

Exercice 27

DémonstrationCalcul

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier $n$ , $u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n + 6$ et la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = u_n - 8$ .

1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.

2. En déduire l'expression de $v_n$ , puis de $u_n$ en fonction de $n$ .

3. Déterminer les limites des suites $(v_n)$ et $(u_n)$ .

Corrigé

1. Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $\begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+1}-8=\frac{1}{4}u_n+6-8\\ &= \frac{1}{4}u_n-2\\ &= \frac{1}{4}\left(u_n-8\right)=\frac{1}{4}v_n \end{aligned}$

\boxed{(v_n)\text{ est géométrique de raison }\frac{1}{4}\text{ et de premier terme }v_0=-6}

2. On en déduit l'expression de $v_n$ , puis celle de $u_n=v_n+8$ : $\boxed{v_n=-6\left(\frac{1}{4}\right)^n \qquad\text{et}\qquad u_n=8-6\left(\frac{1}{4}\right)^n}$

3. Comme $-1<\dfrac{1}{4}<1$ , on a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$ , d'où : $\boxed{\lim_{n\to+\infty} v_n=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty} u_n=8}$

Énoncé PDF, p. 5 Corrigé PDF, p. 15 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Suite convergente, limite

Thèmes

suite définie par récurrence, suite auxiliaire, suite géométrique, limite d'une suite géométrique, limite finie

Notions

suite, limite d'une suite