ExerciceTerminale, chapitre 1 — Suites numériques · Limites de suites

Exercice 26

ConjectureAlgorithmiqueCalcul

Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $v_n = \dfrac{1}{2n+1}$ .

1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer la limite de la suite $(v_n)$ .

2. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ , tel que $v_n < 0{,}001$ .

(a) Recopier et compléter le programme en Python ci-contre pour qu'il réponde au problème.

n = 0
v = ...
while ... :
        n = ...
        v = ...
print (...)

(b) Déterminer cet entier à l'aide de la calculatrice.

Corrigé

1. Les premiers termes ( $1$  ; $\frac{1}{3}$  ; $\frac{1}{5}$  ; …) se rapprochent de $0$ : $\boxed{\text{On conjecture que }\lim_{n\to+\infty} v_n=0}$

2. (a) On complète le programme de la façon suivante :

n = 0
v = 1
while v >= 0.001 :
    n = n+1
    v = 1/(2*n+1)
print(n)

(b) On résout directement l'inéquation : $\frac{1}{2n+1}<0{,}001 \iff 2n+1>1000 \iff n>499{,}5$ Le plus petit entier cherché est donc : $\boxed{n=500}$

Énoncé PDF, p. 5 Corrigé PDF, p. 15 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Suite convergente, limite

Thèmes

suite explicite, conjecture, limite finie, seuil, algorithme, python

Notions

suite, limite d'une suite