ExerciceTerminale, chapitre 2 — Probabilités · Épreuves de Bernoulli et combinaisons

Exercice 13

Calcul

1. Recopier et compléter le triangle de Pascal jusqu'à la ligne $n=7$ .

2. En déduire les valeurs de $\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}$ .

3. Que remarque-t-on en comparant $\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}$  ? Quelle propriété du cours retrouve-t-on ?

4. Vérifier sur cet exemple la relation de Pascal : $\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}$ .

Corrigé

1. Chaque coefficient s'obtient en additionnant celui qui le surplombe et son voisin de gauche :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n\backslash k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 0 & 1 & & & & & & & \\ \hline 1 & 1 & 1 & & & & & & \\ \hline 2 & 1 & 2 & 1 & & & & & \\ \hline 3 & 1 & 3 & 3 & 1 & & & & \\ \hline 4 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 & & & \\ \hline 5 & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 & & \\ \hline 6 & 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1 & \\ \hline 7 & 1 & 7 & 21 & 35 & 35 & 21 & 7 & 1 \\ \hline \end{array}

2. On lit directement dans le tableau : $\boxed{\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}=15 \qquad \begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}=35 \qquad \begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}=35}$

3. Ces deux coefficients sont égaux : on retrouve la relation de symétrie $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}$ , ici avec $n=7$ et $k=3$ , puisque $7-3=4$ .

4. On vérifie sur le tableau : $\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}=15+20=35=\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}$ ce qui illustre bien la relation de Pascal.

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Dans l'édifice

Binôme de Newton et coefficients binomiaux

Thèmes

coefficient binomial, triangle de pascal