Exercice 14

a) Lecture dans le triangle de Pascal : $\boxed{\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}=15}$

b) Propriété immédiate $\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}=n$ : $\boxed{\begin{pmatrix}10\\1\end{pmatrix}=10}$

c) Propriété immédiate $\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}=1$ : $\boxed{\begin{pmatrix}8\\8\end{pmatrix}=1}$

d) Par symétrie, $\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}$, que l'on lit dans le triangle : $\boxed{\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}=21}$

e) Par la formule explicite : $$\begin{pmatrix}9\\3\end{pmatrix}=\frac{9!}{3!\times 6!}=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1} =\frac{504}{6} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\begin{pmatrix}9\\3\end{pmatrix}=84}$$

f) Par symétrie, $\begin{pmatrix}12\\11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\1\end{pmatrix}$ : $\boxed{\begin{pmatrix}12\\11\end{pmatrix}=12}$