Exercice 15

1. On applique la formule avec $k=1$, en remarquant que $n!=n\times(n-1)!$ : $$\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}=\frac{n!}{1!\times(n-1)!}=\frac{n\times(n-1)!}{(n-1)!}=\boxed{n}$$

2. On applique cette fois la formule avec $k=n-1$ : $$\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}=\frac{n!}{(n-1)!\times\big(n-(n-1)\big)!}=\frac{n!}{(n-1)!\times 1!}=\boxed{n}$$ On peut aussi l'obtenir sans calcul par symétrie : $\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\n-(n-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}=n$.

3. On applique la formule avec $k=2$, en écrivant $n!=n(n-1)\times(n-2)!$ : $$\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}=\frac{n!}{2!\times(n-2)!}=\frac{n(n-1)\times(n-2)!}{2\times(n-2)!} =\boxed{\frac{n(n-1)}{2}}$$

4. Choisir deux délégués parmi $30$ élèves, c'est choisir une partie de $2$ éléments dans un ensemble qui en compte $30$, sans tenir compte de l'ordre : $$\begin{pmatrix}30\\2\end{pmatrix}=\frac{30\times 29}{2}=\boxed{435\text{ façons}}$$