Exercice 16

1. Un comité est une partie de $3$ membres choisis parmi $12$, sans ordre : $$\begin{pmatrix}12\\3\end{pmatrix}=\frac{12\times 11\times 10}{3\times 2\times 1}=\boxed{220\text{ comités}}$$

2. Une main est un ensemble de $5$ cartes, l'ordre dans lequel on les reçoit n'important pas : $$\begin{pmatrix}32\\5\end{pmatrix}=\frac{32\times 31\times 30\times 29\times 28}{5\times 4\times 3\times 2\times 1} =\boxed{201\,376\text{ mains}}$$

3. Choisir un chemin réalisant $4$ succès, c'est choisir quelles épreuves, parmi les $10$, seront des succès : $$\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1} =\boxed{210\text{ chemins}}$$

4. D'après la relation de symétrie, $\begin{pmatrix}10\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\10-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}$ : $$\boxed{210\text{ chemins également}}$$ Ce qui se comprend directement : choisir les $6$ épreuves qui sont des succès revient à choisir les $4$ épreuves qui sont des échecs.