Exercice 26 Python

1. La variable x part de $1$ et progresse de $0{,}1$ tant que $f(x)$ reste strictement négative : $$f(1)=-1<0 \quad\to\quad f(1{,}1)\approx -0{,}369<0 \quad\to\quad f(1{,}2)\approx 0{,}328>0 \ \text{ : arrêt}$$ La fonction renvoie alors le couple $\texttt{(x - p, x)}$, soit : $$\boxed{\texttt{balayage(1, 2, 0.1)} \text{ renvoie } (1{,}1\,;1{,}2)}$$ ce qui signifie que $\alpha$ appartient à l'intervalle $[1{,}1\,;1{,}2]$.

Remarque d'informatique : en pratique, Python affichera plutôt

(1.1000000000000003, 1.2000000000000004)

Les nombres décimaux sont codés de façon approchée en machine, et l'accumulation d'additions de $0{,}1$ fait apparaître ces écarts minuscules. Cela ne change rien à l'interprétation mathématique.

2. La boucle s'arrête parce que $f$ est strictement croissante et tend vers $+\infty$ : au-delà de $\alpha$, $f$ est strictement positive. Comme x augmente de $p>0$ à chaque tour, elle finit par dépasser $\alpha$ en un nombre fini d'étapes, et la condition f(x) < 0 devient alors fausse. C'est la stricte croissance établie à l'exercice 24 qui garantit qu'une fois la condition devenue fausse, elle le reste — sans elle, la boucle pourrait s'arrêter sur un changement de signe qui n'est pas le bon.

3. Il suffit de réduire le pas : $$\boxed{\texttt{balayage(1, 2, 0.001)}}$$

4. On ajoute la condition d'arrêt sur b :

def balayage(a, b, p):
    x = a
    while f(x) < 0 and x <= b:
        x = x + p
    if x > b:
        return None      # aucun changement de signe detecte sur [a ; b]
    return x - p, x

5. Sur $[1\,;2]$ avec un pas $p=10^{-3}$, la boucle teste au maximum $$\frac{2-1}{10^{-3}}=\boxed{1\,000 \text{ valeurs}}$$ et pour $p=10^{-6}$, jusqu'à $\boxed{1\,000\,000 \text{ valeurs}}$.

Ce procédé n'est pas économe du tout : pour gagner un chiffre décimal, il faut multiplier le nombre de calculs par $10$. C'est précisément ce que la dichotomie va corriger.