Feuille d'exercicesTerminale, chapitre 3

Fonctions numériques

45 exercices corrigés · 10 24 9 2

Limites d'une fonction

Exercice 1 Déterminer les limites suivantes, en citant à chaque fois la limite de référence utilisée. a) lim _(x→ +∞) x^5 b) lim _(x→ -∞) x^4 c) lim _(x→ -∞)…
Exercice 2 Soient f et g deux fonctions admettant les limites indiquées en α, où α désigne -∞, un réel a ou +∞. Recopier et compléter le tableau suivant: on…
Exercice 3 Déterminer la limite de chacune des fonctions suivantes en +∞, puis en -∞. On factorisera à chaque fois par le terme de plus haut degré. a)…
Exercice 4 Déterminer la limite de chacune des fonctions suivantes en +∞, puis en -∞. a) f(x)= (3x+1)/(x-2) b) g(x)= (x^2+3x)/(2x^2-5) c) h(x)= (4x-7)/(x^2+1)…
Exercice 5 1. Soit f définie sur ℝsetminus 1 par f(x)= (2x+3)/(x-1). Déterminer lim _x→ 1^(+) f(x) et lim _x→ 1^(-) f(x). La fonction f admet-elle une limite…

Exercice 6 On donne ci-dessous la courbe représentative C_f d'une fonction f définie sur ℝsetminus -2, ainsi que ses deux asymptotes en pointillés. 1.…
Exercice 7 1. Soit f une fonction telle que f(x)≥ x^2-5x pour tout x≥ 0. Déterminer lim _(x→ +∞) f(x) en justifiant soigneusement. 2. Soit g une fonction telle…
Exercice 8 Dans chaque cas, encadrer la fonction proposée par deux fonctions de même limite, puis conclure à l'aide du théorème des gendarmes. 1. f(x)= (2+sin…
Exercice 9 Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer l'ensemble de définition, puis les asymptotes horizontales et verticales à sa courbe…
Exercice 10 Soit f la fonction définie sur ℝsetminus 1 par f(x)= (2x-5)/(x-1), de courbe C_f. 1. Vérifier que, pour tout x≠ 1, on a f(x)=2- 3/(x-1). 2. En…

Exercice 11 Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes, en précisant l'intervalle sur lequel on travaille. a) f(x)=3x^4-2x^3+5x-1 b)…
Exercice 12 Dans chaque cas, déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. a) f(x)=x^3-2x+1 et a=1 b) f(x)=√x et a=4 c) f(x)=…
Exercice 13 Pour chacune des fonctions suivantes, identifier la fonction intérieure u, puis calculer la dérivée. a) f(x)=(2x-7)^5 b) g(x)=(x^2+x+1)^3 c)…
Exercice 14 Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, puis en donner une forme factorisée. 1. f(x)=x√(x+1) sur ]-1;+∞[ 2. g(x)=(2x+1)^3(x-4) sur ℝ…
Exercice 15 Soit f la fonction définie sur ℝsetminus 1 par f(x)= (x^2+3)/(x-1). 1. Déterminer les limites de f en +∞ et en -∞. 2. Déterminer les limites de f à…
Exercice 16 Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant. 1. La dérivée de x↦ (x^2+1)^5 est x↦ 5(x^2+1)^4. 2. La…

Exercice 17 La courbe ci-dessous est celle de la fonction dérivée f' d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur ℝ. 1. Déterminer par lecture graphique…
Exercice 18 Pour chacune des fonctions suivantes, définie sur ℝ, calculer f'', étudier son signe, puis préciser les intervalles de convexité et de concavité…
Exercice 19 Étudier la convexité de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué, et préciser les points d'inflexion éventuels. 1. f(x)=x e^x sur ℝ…
Exercice 20 Soit f la fonction exponentielle, définie sur ℝ par f(x)= e^x. 1. Calculer f'' et en déduire que f est convexe sur ℝ. 2. Déterminer une équation de…
Exercice 21 Une entreprise fabrique x centaines d'objets, avec 0≤ x≤ 30. Le coût total de production, en centaines d'euros, est modélisé par:…

Exercice 22 Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est fausse, donner un contre-exemple ou l'énoncé correct. 1.…
Exercice 23 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=x^3-3x+1. 1. Justifier que f est continue sur ℝ. 2. Calculer f(-2), f(0), f(1) et f(2). 3. En appliquant…
Exercice 24 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=x^3+3x-5. 1. Justifier que f est continue et dérivable sur ℝ, puis étudier ses variations. 2. Déterminer…
Exercice 25 Soit f une fonction continue et deux fois dérivable sur ℝ, dont le tableau de variations est le suivant: 1. Déterminer le nombre de solutions de…
Exercice 26 · Python On reprend la fonction f de l'exercice 24, définie par f(x)=x^3+3x-5, et l'on cherche à approcher sa racine α. On dispose du script suivant: 1. Que…
Exercice 27 · Méthode de dichotomie On reprend encore la fonction f définie sur ℝ par f(x)=x^3+3x-5, dont on a montré à l'exercice 24 qu'elle s'annule en un unique réel α. Le balayage…
Exercice 28 1. Soit f la fonction définie sur ℝ par: f(x)=begin cases x^2+1 & si x≤ 2 [2mm] ax-3 & si x>2end cases (a) Justifier que f est continue sur ]-∞;2[…

Exercice 29 · Type Bac Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)= 4x/(x^2+1), de courbe représentative C_f dans un repère orthonormé. Partie A: limites et variations 1.…
Exercice 30 · Type Bac Soit f la fonction définie sur [-2;4] par f(x)=(x+2) e^(-x), de courbe C_f. 1. Montrer que, pour tout x de [-2;4], f'(x)=(-x-1) e^(-x). 2. Étudier…
Exercice 31 · Type Bac On dispose d'une plaque de carton carrée de 20 cm de côté. On découpe à chaque coin un carré de côté x, exprimé en centimètres, puis on relève les…
Exercice 32 · Type Bac Partie A: étude d'une fonction auxiliaire Soit g la fonction définie sur [0;+∞[ par g(x)=x^3+2x^2-2. 1. Calculer g'(x) et montrer que g est…
Exercice 33 · Type Bac Partie A: étude d'une fonction Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)=√(4x+5). 1. Justifier que f est dérivable sur [0;+∞[, calculer f'(x)…
Exercice 34 Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Déterminer laquelle et justifier.
Exercice 35 Limites et expressions conjuguées. 1. Soit x>0. Montrer que √(x+1)-√x= 1/(√(x+1)+√x). 2. En déduire que, pour tout x>0: 0<√(x+1)-√x≤ 1/(√x) puis…
Exercice 36 Une inégalité obtenue par la convexité. Soit g la fonction définie sur [0;+∞[ par g(x)=√(1+x), de courbe C_g. 1. Montrer que, pour tout x>0, g'(x)=…

Exercice 37 Soient f et g deux fonctions définies sur ℝ et dérivables en 0. On suppose que les courbes représentatives des trois fonctions f, g et fg/2 ont la…
Exercice 38 Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)= e^-x^2. Pour tout entier naturel n, on note f^((n)) la dérivée n -ième de f, obtenue en dérivant n fois…
Exercice 39 Soit f une fonction définie sur ℝ telle que, pour tous réels x et y: |f(y)-f(x) |≤ (y-x)^2 Montrer que f est constante.
Exercice 40 Le nombre de racines réelles d'une équation de degré 3. Soient p et q deux réels et, pour x réel, f(x)=x^3+px+q. On se propose de déterminer le…
Exercice 41 Soient a et b deux réels tels que a<b, et f une fonction continue sur [a;b] et à valeurs dans [a;b]. Montrer que f admet un point fixe, c'est-à-dire…
Exercice 42 Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I et qui ne s'annule pas sur I, on appelle dérivée logarithmique de f la fonction f'/f. 1. Soient…
Exercice 43 Inégalité des accroissements finis. Soient a et b deux réels tels que a<b, m et M deux réels, et f une fonction dérivable sur [a;b]. 1. On suppose…
Exercice 44 Soient a et b deux réels tels que a<b, K∈[0;1[ et f une fonction dérivable sur [a;b], à valeurs dans [a;b], telle que: pour tout x∈[a;b], |f'(x) |≤…
Exercice 45 Calcul d'une racine carrée par la méthode de Newton. Partie A 1. Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I, et x_0 un élément de I tel que…