Exercice 37

Traduction de l'hypothèse. La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=f'(0)\,x+f(0)$, et celle de $g$ a pour équation $y=g'(0)\,x+g(0)$. Deux droites non verticales sont confondues si et seulement si elles ont même coefficient directeur et même ordonnée à l'origine. Notons donc : $$c=f(0)=g(0) \qquad\text{et}\qquad m=f'(0)=g'(0)$$ La troisième fonction. Posons $h=\dfrac{fg}{2}$. La formule de dérivation d'un produit, établie en un point exactement comme sur un intervalle, donne : $$h(0)=\frac{f(0)g(0)}{2}=\frac{c^{2}}{2} \qquad\text{et}\qquad h'(0)=\frac{f'(0)g(0)+f(0)g'(0)}{2}=\frac{mc+cm}{2}=mc$$ La tangente à la courbe de $h$ en $0$ doit être la même droite, d'où deux conditions : $$\frac{c^{2}}{2}=c \qquad\text{et}\qquad mc=m$$ La première s'écrit $c(c-2)=0$, soit $c=0$ ou $c=2$. La seconde s'écrit $m(c-1)=0$ ; comme $c$ ne vaut pas $1$, elle impose $m=0$.

Réciproque. Les deux cas se produisent : avec $f=g$ constantes égales à $0$, les trois courbes ont pour tangente commune la droite $y=0$ ; avec $f=g$ constantes égales à $2$, la fonction $h$ vaut aussi $2$, et la tangente commune est $y=2$. $$\boxed{\text{La tangente commune a pour équation } y=0 \text{ ou } y=2.}$$ Remarque : le résultat surprend, puisque l'hypothèse ne dit rien de la pente. C'est la formule du produit qui la contraint : elle impose $h'(0)=mc$, et comme l'ordonnée $c$ ne peut valoir que $0$ ou $2$, jamais $1$, l'égalité $mc=m$ n'est possible que pour une pente nulle.