Exercice 36

1. Avec $u(x)=1+x$, donc $u'(x)=1$, et $u(x)>0$ pour $x>-1$ : $$g'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\boxed{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}}$$ On dérive à nouveau, en écrivant $g'(x)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}$ et en appliquant $\left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^{2}}$ avec $u(x)=\sqrt{1+x}$ : $$\left(\frac{1}{\sqrt{1+x}}\right)'=-\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}} =-\frac{1}{2(1+x)\sqrt{1+x}}$$

2. Pour $x\geqslant 0$, on a $1+x>0$ et $\sqrt{1+x}>0$, donc le dénominateur est strictement positif et $g''(x)<0$. D'après le théorème de caractérisation de la convexité : $$\boxed{g \text{ est concave sur } [0\,;+\infty[.}$$

3. $g(0)=\sqrt{1}=1$ et $g'(0)=\dfrac{1}{2\sqrt{1}}=\dfrac{1}{2}$, donc : $$y=\frac{1}{2}(x-0)+1 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{T : y=\frac{x}{2}+1}$$

4. Une fonction concave a sa courbe située en dessous de chacune de ses tangentes. En appliquant cela à la tangente $T$ : $$\boxed{\text{pour tout } x\geqslant 0,\quad \sqrt{1+x}\leqslant 1+\frac{x}{2}}$$

5. Posons $h(x)=1+\dfrac{x}{2}-\sqrt{1+x}$ sur $[0\,;+\infty[$. Alors $$h'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{1+x}} =\frac{\sqrt{1+x}-1}{2\sqrt{1+x}}$$ Pour $x\geqslant 0$, on a $1+x\geqslant 1$ donc $\sqrt{1+x}\geqslant 1$, et le numérateur est positif. Ainsi $h'(x)\geqslant 0$ : la fonction $h$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$. Comme $$h(0)=1+0-\sqrt{1}=0$$ on en déduit que $h(x)\geqslant h(0)=0$ pour tout $x\geqslant 0$, c'est-à-dire $$1+\frac{x}{2}-\sqrt{1+x}\geqslant 0 \qquad\text{soit}\qquad \sqrt{1+x}\leqslant 1+\frac{x}{2}$$ On retrouve bien l'inégalité, cette fois par une étude de fonction.

6. En prenant $x=0{,}02$ : $$\sqrt{1{,}02}\leqslant 1+\frac{0{,}02}{2}=\boxed{1{,}01}$$ La calculatrice donne $\sqrt{1{,}02}\approx 1{,}00995$, donc l'erreur commise vaut $$1{,}01-1{,}00995\approx \boxed{5\times 10^{-5}}$$ On remarque que l'approximation est excellente : la tangente épouse d'autant mieux la courbe que l'on reste proche du point de contact.

7. Oui, l'inégalité reste valable. Le calcul de $g''$ est en effet valable pour tout $x>-1$, et non seulement pour $x\geqslant 0$ : la fonction $g$ est donc concave sur $]-1\,;+\infty[$ tout entier, et sa courbe y reste sous la tangente $T$. $$\boxed{\text{pour tout } x\in\,]-1\,;+\infty[,\quad \sqrt{1+x}\leqslant 1+\frac{x}{2}}$$ Le cas $x=-1$ se vérifie directement : $\sqrt{0}=0$ et $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, et l'on a bien $0\leqslant \frac{1}{2}$. L'inégalité vaut donc sur $[-1\,;+\infty[$.

Remarque : en $x=-1$, la fonction $g$ n'est pas dérivable (tangente verticale), ce qui explique que l'on doive traiter ce point à part.