Exercice 35

1. Soit $x>0$. On reconnaît le produit de deux expressions conjuguées : $$\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right) =\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}-\left(\sqrt{x}\right)^{2}=(x+1)-x=1$$ Comme $\sqrt{x+1}+\sqrt{x}>0$, on peut diviser par cette quantité : $$\boxed{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}$$

2. Pour $x>0$, on a $\sqrt{x+1}>0$, donc $\sqrt{x+1}+\sqrt{x}>\sqrt{x}>0$. En passant aux inverses, ce qui renverse l'ordre : $$0<\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}<\frac{1}{\sqrt{x}}$$ c'est-à-dire, d'après la question 1. : $$0<\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\leqslant \frac{1}{\sqrt{x}}$$ Or $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=0$ (limite de référence) et la fonction nulle tend également vers $0$. D'après le théorème des gendarmes : $$\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)=0}$$

3. (a) Même technique : $$\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)=(x^{2}+1)-x^{2}=1$$ et $\sqrt{x^{2}+1}+x>0$ pour $x>0$, donc $$\boxed{\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}}$$

(b) Pour $x>0$ : $\sqrt{x^{2}+1}>0$ donc $\sqrt{x^{2}+1}+x>x>0$, et en passant aux inverses : $$0<\varphi(x)<\frac{1}{x}$$ Comme $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0$, le théorème des gendarmes donne : $$\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}\varphi(x)=0}$$

(c) L'écart vertical entre la courbe de $x\mapsto\sqrt{x^{2}+1}$ et la droite d'équation $y=x$ vaut exactement $\varphi(x)$, qui tend vers $0$. Autrement dit, $$\boxed{\text{la courbe se rapproche indéfiniment de la droite } y=x \text{ quand } x\to+\infty.}$$ De plus $\varphi(x)>0$ : la courbe reste toujours strictement au-dessus de cette droite, sans jamais la toucher.

Remarque de cours (hors programme du chapitre) : on dit que la droite $y=x$ est asymptote oblique à la courbe. Le chapitre ne définit que les asymptotes horizontales et verticales, mais le principe est le même : c'est une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment.

4. (a) $\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+x}+x\right)=(x^{2}+x)-x^{2}=x$, donc $$\boxed{\psi(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}}$$

(b) Pour $x>0$, on peut factoriser sous la racine : $$\sqrt{x^{2}+x}=\sqrt{x^{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)} =\sqrt{x^{2}}\times\sqrt{1+\frac{1}{x}}=x\sqrt{1+\frac{1}{x}}$$ en utilisant $\sqrt{x^{2}}=|x|=x$ car $x>0$. C'est ici le piège de l'exercice : pour $x<0$ on aurait $\sqrt{x^{2}}=-x$, et tout le calcul changerait de signe.

On factorise alors le dénominateur par $x$ : $$\psi(x)=\frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}}+x} =\frac{x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)} =\boxed{\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}}$$

(c) Par hypothèse, $\sqrt{1+\frac{1}{x}}\to 1$, donc le dénominateur tend vers $1+1=2$ : $$\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}\psi(x)=\frac{1}{2}}$$

(d) Les deux situations se ressemblent beaucoup, et pourtant : $$\sqrt{x^{2}+1}-x\longrightarrow 0 \qquad\text{tandis que}\qquad \sqrt{x^{2}+x}-x\longrightarrow \frac{1}{2}$$ Commentaire. Sous la racine, le terme $+1$ est négligeable devant $x^{2}$ : la racine se comporte exactement comme $x$, et l'écart s'évanouit. Le terme $+x$, lui, grandit avec $x$ : même s'il reste négligeable devant $x^{2}$ (les deux fonctions ont bien la même « allure »), il laisse subsister un écart constant. La morale est qu'une forme indéterminée $\infty-\infty$ ne peut jamais se deviner : elle exige un calcul.