Exercice 34

1. Réponse A. On factorise par $x^{2}$ : $\dfrac{3x^{2}-x+2}{1-2x^{2}}=\dfrac{3-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}-2} \longrightarrow \dfrac{3}{-2}=\boxed{-\dfrac{3}{2}}$

2. Réponse B. Le numérateur tend vers $3>0$ et, pour $x<2$, on a $x-2<0$ donc $x-2\to 0^{-}$. Le quotient tend donc vers $\boxed{-\infty}$.

3. Réponse B. Avec $u(x)=x^{2}+1$ et $u'(x)=2x$ : $\left(u^{3}\right)'=3u'u^{2}=\boxed{6x(x^{2}+1)^{2}}$. La réponse A est le résultat que l'on obtient en oubliant $u'$.

4. Réponse A. Avec $u(x)=-3x+1$ et $u'(x)=-3$ : $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\mathrm{e}^{u}=\boxed{-3\,\mathrm{e}^{-3x+1}}$.

5. Réponse B. $f''(x)=6x-12$ s'annule en $x=2$ en changeant de signe (négative avant, positive après) : il y a bien un point d'inflexion d'abscisse $\boxed{2}$.

6. Réponse A. Si $f(x)=x^{4}$, alors $f''(x)=12x^{2}\geqslant 0$ sur $\mathbb{R}$, donc $\boxed{f \text{ est convexe sur } \mathbb{R}}$. Attention : $f''(0)=0$ n'entraîne pas un changement de convexité, comme vu à l'exercice 18.

7. Réponse A. Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème d'existence : il affirme qu'il existe au moins une solution. L'unicité relève du corollaire, qui exige en plus la stricte monotonie.

8. Réponse A. $f$ est continue sur $[0\,;1]$ et $f(0)=-1<0<3=f(1)$ : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ s'annule au moins une fois. Rien ne permet d'affirmer qu'elle ne s'annule qu'une fois, faute de connaître ses variations.