Exercice 33 Type Bac

Partie A : étude d'une fonction

1. Pour $x\geqslant 0$, on a $4x+5\geqslant 5>0$ : la fonction $u:x\mapsto 4x+5$ est strictement positive, donc $\sqrt{u}$ est dérivable, et $$f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\frac{4}{2\sqrt{4x+5}}=\boxed{\frac{2}{\sqrt{4x+5}}}$$ Ce quotient est strictement positif, donc $\boxed{f \text{ est strictement croissante sur } [0\,;+\infty[.}$

2. Pour $x\geqslant 0$, les deux membres de $\sqrt{4x+5}=x$ sont positifs, on peut donc élever au carré : $$\sqrt{4x+5}=x \iff 4x+5=x^{2} \iff x^{2}-4x-5=0$$ Le discriminant vaut $\Delta=16+20=36$, donc $\sqrt{\Delta}=6$ et $$x=\frac{4-6}{2}=-1 \qquad\text{ou}\qquad x=\frac{4+6}{2}=5$$ La valeur $-1$ est à rejeter car elle n'appartient pas à $[0\,;+\infty[$ : $$\boxed{\mathcal{S}=\{5\}}$$

3. Soit $x\in[0\,;5]$. Comme $f$ est croissante, on a $f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(5)$, c'est-à-dire : $$\sqrt{5}\leqslant f(x)\leqslant 5$$ Or $\sqrt{5}\approx 2{,}24\geqslant 0$, donc a fortiori $$\boxed{0\leqslant f(x)\leqslant 5}$$ Ce qui signifie que l'intervalle $[0\,;5]$ est stable par $f$ : on ne peut pas en sortir en appliquant $f$.

4. On multiplie par la quantité conjuguée, licite car $\sqrt{4x+5}+x>0$ pour $x>0$ : $$f(x)-x=\sqrt{4x+5}-x =\frac{\left(\sqrt{4x+5}-x\right)\left(\sqrt{4x+5}+x\right)}{\sqrt{4x+5}+x} =\frac{(4x+5)-x^{2}}{\sqrt{4x+5}+x}$$ Or $-x^{2}+4x+5=-\left(x^{2}-4x-5\right)=-(x-5)(x+1)$ d'après la question 2. Ce qui nous donne : $$\boxed{f(x)-x=\frac{-(x-5)(x+1)}{\sqrt{4x+5}+x}}$$ Sur $[0\,;5]$, on a $x-5\leqslant 0$ et $x+1>0$, donc $-(x-5)(x+1)\geqslant 0$ ; le dénominateur étant strictement positif : $$\boxed{f(x)\geqslant x \text{ pour tout } x\in[0\,;5],\ \text{avec égalité seulement en } x=5.}$$

5. $f'(x)=\dfrac{2}{\sqrt{4x+5}}=2\times\dfrac{1}{\sqrt{4x+5}}$. On dérive $\dfrac{1}{u}$ avec $u(x)=\sqrt{4x+5}$, dont la dérivée est $\dfrac{2}{\sqrt{4x+5}}$ et le carré $4x+5$ : $$\left(\frac{1}{\sqrt{4x+5}}\right)'=-\frac{\frac{2}{\sqrt{4x+5}}}{4x+5} =-\frac{2}{(4x+5)\sqrt{4x+5}}$$

$$f''(x)=2\times\left(-\frac{2}{(4x+5)\sqrt{4x+5}}\right) =\boxed{-\frac{4}{(4x+5)\sqrt{4x+5}}}$$ Ce nombre est strictement négatif sur $[0\,;+\infty[$, donc $\boxed{f \text{ est concave sur } [0\,;+\infty[.}$

Partie B : étude d'une suite

6. $u_0=0$, puis : $$u_1=\sqrt{4\times 0+5}=\sqrt{5}\approx \boxed{2{,}236}$$

$$u_2=\sqrt{4u_1+5}\approx\sqrt{13{,}944}\approx \boxed{3{,}734} \qquad u_3=\sqrt{4u_2+5}\approx\sqrt{19{,}937}\approx \boxed{4{,}465}$$ Conjecture : la suite $(u_n)$ semble croissante, majorée par $5$, et converger vers $5$.

7. Considérons la propriété, définie pour tout entier naturel $n$ : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 5\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$, on a $u_0=0$ et $u_1=\sqrt{5}\approx 2{,}236$. On vérifie bien $$0\leqslant 0\leqslant 2{,}236\leqslant 5$$ donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons $P_k$ vraie, c'est-à-dire $0\leqslant u_k\leqslant u_{k+1}\leqslant 5$.

La fonction $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ (question 1.), donc elle conserve l'ordre : $$f(0)\leqslant f(u_k)\leqslant f(u_{k+1})\leqslant f(5)$$ c'est-à-dire, puisque $u_{n+1}=f(u_n)$ et $f(5)=5$ (question 2.) : $$\sqrt{5}\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant 5$$ Or $\sqrt{5}\geqslant 0$, donc a fortiori $0\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant 5$ : la propriété $P_{k+1}$ est vraie.

Conclusion : Par principe de récurrence, la propriété $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\quad 0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 5}$$

Remarque : on pouvait aussi obtenir $u_n\leqslant u_{n+1}$ directement par la question 4. : puisque $u_n\in[0\,;5]$, on a $f(u_n)\geqslant u_n$, c'est-à-dire $u_{n+1}\geqslant u_n$.

8. D'après ce qui précède, la suite $(u_n)$ est croissante (car $u_n\leqslant u_{n+1}$) et majorée par $5$. D'après le théorème de la limite monotone (chapitre 1) : $$\boxed{\text{la suite } (u_n) \text{ est convergente.}}$$

9. Notons $\ell$ sa limite. Comme $0\leqslant u_n\leqslant 5$ pour tout $n$, on a par passage à la limite $\ell\in[0\,;5]$.

D'une part, la suite $(u_{n+1})$ est extraite de $(u_n)$ et converge donc aussi vers $\ell$. D'autre part, $f$ est continue sur $[0\,;+\infty[$, donc en particulier en $\ell$ : la suite $\big(f(u_n)\big)$ converge vers $f(\ell)$. Or $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$. Par unicité de la limite : $$\ell=f(\ell)$$ D'après la question 2., la seule solution de cette équation sur $[0\,;+\infty[$ est $5$, donc $$\boxed{\lim_{n\to+\infty} u_n=5}$$ C'est ici que la continuité est indispensable : sans elle, rien ne permettrait de faire « passer la limite à l'intérieur » de $f$.

10. On boucle tant que le seuil n'est pas dépassé :

from math import sqrt

def seuil(s):
    u = 0
    n = 0
    while u <= s:
        u = sqrt(4*u + 5)
        n = n + 1
    return n

11. En poursuivant les calculs, on trouve $u_9\approx 4{,}99773$ et $u_{10}\approx 4{,}99909$. Le seuil $4{,}999$ est donc franchi au rang $10$ : $$\boxed{\texttt{seuil(4.999)} \text{ renvoie } 10}$$ En revanche, $\boxed{\texttt{seuil(5)} \text{ provoquerait une boucle infinie}}$ : la suite est strictement croissante et majorée par $5$, donc $u_n<5$ pour tout $n$ — la condition u <= s ne deviendrait jamais fausse. La limite est atteinte « à l'infini », jamais à un rang fini.

Nuance d'informatique : en pratique, les arrondis de la machine finissent par renvoyer exactement $5{,}0$ et la boucle s'arrête tout de même. Mathématiquement, c'est bien d'une boucle infinie qu'il s'agit.