Exercice 38

On raisonne par récurrence sur $n$, avec la propriété $\mathcal{P}(n)$ : « il existe un polynôme $P_n$ tel que $f^{(n)}(x)=P_n(x)\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$ pour tout réel $x$ ».

Initialisation : $f^{(0)}(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}=1\times\mathrm{e}^{-x^{2}}$, donc $P_0=1$ convient.

Hérédité : Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie pour un entier $n$. La fonction $x\mapsto P_n(x)\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, comme produit d'un polynôme et de $\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=-x^{2}$. D'après la dérivée d'un produit, et puisque $\left(\mathrm{e}^{-x^{2}}\right)'=-2x\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$ : $$f^{(n+1)}(x)=P_n'(x)\,\mathrm{e}^{-x^{2}}+P_n(x)\times\left(-2x\,\mathrm{e}^{-x^{2}}\right) =\big(P_n'(x)-2x\,P_n(x)\big)\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$$ La fonction $P_{n+1}=P_n'-2xP_n$ est un polynôme, car la dérivée d'un polynôme et le produit de deux polynômes en sont encore : $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion : Pour tout entier naturel $n$, il existe un polynôme $P_n$ tel que $f^{(n)}(x)=P_n(x)\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$, et ces polynômes vérifient la relation de récurrence : $$\boxed{P_0=1 \qquad\text{et}\qquad P_{n+1}(x)=P_n'(x)-2x\,P_n(x)}$$ On en déduit successivement $P_1(x)=0-2x\times 1$, puis $P_2(x)=-2-2x\times(-2x)$ : $$\boxed{P_0(x)=1 \qquad P_1(x)=-2x \qquad P_2(x)=4x^{2}-2}$$ Remarque : on retrouve l'exercice 19. Comme $\mathrm{e}^{-x^{2}}>0$, le signe de $f''$ est celui de $P_2(x)=4x^{2}-2$, qui s'annule en $\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ en changeant de signe : ce sont les abscisses des deux points d'inflexion. La même récurrence montre que $P_n$ est de degré $n$, de coefficient dominant $(-2)^{n}$ ; par exemple $P_3(x)=-8x^{3}+12x$.