Exercice 39

La fonction $f$ est dérivable. L'énoncé ne le suppose pas : il faut le démontrer. Fixons un réel $x$. Pour tout réel $h\neq 0$, l'hypothèse appliquée à $x$ et $y=x+h$ donne $\left|f(x+h)-f(x)\right|\leqslant h^{2}$, puis, en divisant par $|h|>0$ : $$\left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right|\leqslant |h| \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad -|h|\leqslant\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\leqslant |h|$$ Les deux fonctions encadrantes tendent vers $0$ lorsque $h$ tend vers $0$. D'après le théorème des gendarmes, énoncé dans le cours en $+\infty$ mais qui vaut de la même façon en un point, le taux d'accroissement tend vers $0$ : $$\boxed{f \text{ est dérivable en tout réel } x, \text{ et } f'(x)=0.}$$ Conclusion. Comme $f'\geqslant 0$ sur $\mathbb{R}$, la fonction $f$ est croissante ; comme $f'\leqslant 0$, elle est aussi décroissante. Pour $x<y$, on a donc à la fois $f(x)\leqslant f(y)$ et $f(x)\geqslant f(y)$, soit $f(x)=f(y)$. $$\boxed{f \text{ est constante.}}$$ Piège : c'est l'exposant $2$ qui fait tout. L'hypothèse $\left|f(y)-f(x)\right|\leqslant |y-x|$ serait insuffisante : la fonction $x\mapsto x$ la vérifie sans être constante. Le carré rend le taux d'accroissement aussi petit que l'on veut.