Exercice 40

La fonction $f$ est un polynôme, donc continue et dérivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée $f'(x)=3x^{2}+p$. En factorisant par $x^{3}$, on obtient $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.

1. Si $p>0$, alors $f'(x)\geqslant p>0$ pour tout $x$ : la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Si $p=0$, alors $f(x)=x^{3}+q$ est strictement croissante, comme $x\mapsto x^{3}$. Dans les deux cas :

La fonction est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, et $0$ est compris entre ses limites en $-\infty$ et en $+\infty$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : $$\boxed{\text{si } p\geqslant 0, \text{ l'équation } f(x)=0 \text{ admet une unique racine réelle.}}$$

2. Si $p<0$, posons $s=\sqrt{-\dfrac{p}{3}}>0$. Alors $f'(x)=3\left(x^{2}-s^{2}\right) =3(x-s)(x+s)$ s'annule en $x_1=-s$ et $x_2=s$ ; elle est strictement positive à l'extérieur de $[x_1\,;x_2]$ et strictement négative à l'intérieur :

La fonction $f$ admet un maximum local $f(x_1)$ et un minimum local $f(x_2)$, avec $f(x_1)>f(x_2)$ puisque $f$ est strictement décroissante sur $[x_1\,;x_2]$.

3. On utilise $s^{2}=-\dfrac{p}{3}$ pour simplifier : $$f(\pm s)=\pm s^{3}\pm ps+q=\pm s\left(s^{2}+p\right)+q=\pm s\times\frac{2p}{3}+q$$ Le produit est donc de la forme $(q+A)(q-A)=q^{2}-A^{2}$, avec $A=\dfrac{2p}{3}s$ : $$f(x_1)\,f(x_2)=q^{2}-\frac{4p^{2}}{9}\,s^{2}=q^{2}-\frac{4p^{2}}{9}\times\left(-\frac{p}{3}\right) \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{f(x_1)\,f(x_2)=\frac{4p^{3}+27q^{2}}{27}=-\frac{\Delta}{27}}$$

4. Cas $p\geqslant 0$. Alors $\Delta=-4p^{3}-27q^{2}\leqslant 0$, avec égalité seulement si $p=q=0$. La question 1 a montré qu'il y a toujours une unique racine.

Cas $p<0$. On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur chacun des trois intervalles de stricte monotonie, en lisant le tableau.

• Si $\Delta>0$, alors $f(x_1)f(x_2)<0$, donc $f(x_1)>0>f(x_2)$ : il y a une racine dans chacun des intervalles $]-\infty\,;x_1[$, $]x_1\,;x_2[$ et $]x_2\,;+\infty[$, soit trois racines.

• Si $\Delta<0$, les deux extremums sont non nuls et de même signe. S'ils sont tous deux positifs, $f$ ne s'annule que sur $]-\infty\,;x_1[$ ; s'ils sont tous deux négatifs, seulement sur $]x_2\,;+\infty[$. Dans les deux cas, il y a une seule racine.

• Si $\Delta=0$, l'un des extremums est nul, mais pas les deux puisque $f(x_1)>f(x_2)$. Si par exemple $f(x_1)=0$, alors $x_1$ est racine, $f$ ne s'annule pas ailleurs sur $]-\infty\,;x_2]$, et une seconde racine se trouve dans $]x_2\,;+\infty[$. Il y a deux racines distinctes.

Vérification : pour $x^{3}-3x+1$, étudié à l'exercice 23, on a $p=-3$, $q=1$ et $\Delta=-(-108+27)=81>0$ : on retrouve bien trois racines. Pour $x^{3}+3x-5$, étudié à l'exercice 24, on a $p=3>0$ : une seule racine, ce qu'on avait établi. ✓

Remarque : le signe moins dans la définition de $\Delta$ est choisi pour que, comme pour le trinôme du second degré, un discriminant strictement positif corresponde au nombre maximal de racines réelles.