Exercice 41

Posons $g(x)=f(x)-x$ pour $x\in[a\,;b]$. La fonction $g$ est continue sur $[a\,;b]$, comme différence de deux fonctions continues, et les points fixes de $f$ sont exactement les solutions de $g(x)=0$.

Comme $f$ est à valeurs dans $[a\,;b]$, on a $a\leqslant f(a)$ et $f(b)\leqslant b$, c'est-à-dire : $$g(a)=f(a)-a\geqslant 0 \qquad\text{et}\qquad g(b)=f(b)-b\leqslant 0$$ Le réel $0$ est donc compris entre $g(b)$ et $g(a)$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c\in[a\,;b]$ tel que $g(c)=0$, soit $f(c)=c$. $$\boxed{f \text{ admet au moins un point fixe dans } [a\,;b].}$$ Interprétation graphique : la courbe de $f$ relie un point du bord gauche du carré $[a\,;b]\times[a\,;b]$ à un point de son bord droit sans en sortir ; elle coupe donc nécessairement la diagonale d'équation $y=x$.

Piège : les deux hypothèses sont indispensables. Sans la continuité, la fonction qui vaut $1$ sur $\left[0\,;\frac{1}{2}\right]$ et $0$ sur $\left]\frac{1}{2}\,;1\right]$ envoie $[0\,;1]$ dans lui-même sans point fixe. Sans l'hypothèse sur les valeurs, la fonction $x\mapsto x+1$ est continue sur $[0\,;1]$ et n'a aucun point fixe. Enfin, le point fixe n'est pas forcément unique : pour l'identité, tous les points le sont. L'exercice 44 donne une condition qui assure l'unicité.