Exercice 42

1. Le produit $uv$ ne s'annule pas sur $I$, et : $$\frac{(uv)'}{uv}=\frac{u'v+uv'}{uv}=\boxed{\frac{u'}{u}+\frac{v'}{v}}$$ La dérivée logarithmique transforme un produit en somme.

2. Montrons par récurrence sur $n\geqslant 1$ que, si $u_1,\dots,u_n$ sont dérivables et ne s'annulent pas sur $I$, alors : $$\frac{(u_1u_2\cdots u_n)'}{u_1u_2\cdots u_n}=\frac{u_1'}{u_1}+\frac{u_2'}{u_2}+\dots+\frac{u_n'}{u_n}$$ Pour $n=1$, il n'y a rien à démontrer. Si la formule vaut pour $n$ facteurs, on applique la question 1 à $u=u_1\cdots u_n$, qui ne s'annule pas, et à $v=u_{n+1}$ : la dérivée logarithmique de $u_1\cdots u_{n+1}$ vaut celle de $u$, donnée par l'hypothèse de récurrence, augmentée de $\dfrac{u_{n+1}'}{u_{n+1}}$.

3. Le polynôme $P$ s'annule exactement en $a_1,\dots,a_n$. Sa dérivée logarithmique est donc définie sur chacun des $n+1$ intervalles $$]-\infty\,;a_1[\,, \quad ]a_1\,;a_2[\,, \quad \dots, \quad ]a_{n-1}\,;a_n[\,, \quad ]a_n\,;+\infty[$$ On y applique la question 2 avec $u_k(x)=x-a_k$, qui vérifie $u_k'(x)=1$ : $$\boxed{\frac{P'(x)}{P(x)}=\frac{1}{x-a_1}+\frac{1}{x-a_2}+\dots+\frac{1}{x-a_n}}$$

4. Sens de variation. Chaque terme $x\mapsto\dfrac{1}{x-a_k}$ a pour dérivée $-\dfrac{1}{(x-a_k)^{2}}$, donc : $$\left(\frac{P'}{P}\right)'(x)=-\frac{1}{(x-a_1)^{2}}-\dots-\frac{1}{(x-a_n)^{2}}<0$$ La fonction $\dfrac{P'}{P}$ est strictement décroissante sur chacun des $n+1$ intervalles.

Limites. En $\pm\infty$, chacun des $n$ termes tend vers $0$, donc la somme aussi. Au voisinage de $a_k$, le terme $\dfrac{1}{x-a_k}$ tend vers $+\infty$ à droite et vers $-\infty$ à gauche, tandis que les autres termes ont une limite finie. Ainsi :

Sur $]-\infty\,;a_1[$, la fonction décroît de la limite $0$ vers $-\infty$ : elle prend toutes les valeurs de $]-\infty\,;0[$. Sur chaque intervalle $]a_k\,;a_{k+1}[$, elle décroît de $+\infty$ à $-\infty$. Sur $]a_n\,;+\infty[$, elle décroît de $+\infty$ vers $0$ : elle prend toutes les valeurs de $]0\,;+\infty[$.

5. Les $a_k$ ne sont pas solutions. On a $P(a_k)=0$. Écrivons $P(x)=(x-a_k)\,Q_k(x)$, où $Q_k$ est le produit des autres facteurs ; alors $P'(x)=Q_k(x)+(x-a_k)\,Q_k'(x)$, donc $P'(a_k)=Q_k(a_k)$, produit des $a_k-a_j$ pour $j\neq k$, qui est non nul. Ainsi $P'(a_k)-\alpha P(a_k)=P'(a_k)\neq 0$.

Réduction. Les solutions de $P'(x)-\alpha P(x)=0$ sont donc les réels $x$ distincts des $a_k$ tels que $\dfrac{P'(x)}{P(x)}=\alpha$. Sur chaque intervalle, la fonction $\dfrac{P'}{P}$ est continue et strictement décroissante : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, étendu aux intervalles ouverts, la valeur $\alpha$ y est atteinte une fois si elle appartient à l'intervalle image, et jamais sinon.

Décompte. Chacun des $n-1$ intervalles $]a_k\,;a_{k+1}[$ fournit exactement une solution, quel que soit $\alpha$. L'intervalle $]-\infty\,;a_1[$ en fournit une si $\alpha<0$, l'intervalle $]a_n\,;+\infty[$ en fournit une si $\alpha>0$. $$\boxed{\text{L'équation } P'(x)-\alpha P(x)=0 \text{ admet } n \text{ racines réelles si } \alpha\neq 0, \text{ et } n-1 \text{ si } \alpha=0.}$$

Vérification : pour $P(x)=x(x-1)(x-3)$, on trouve à la calculatrice trois racines réelles pour $\alpha=-2$, $\alpha=\frac{1}{2}$ et $\alpha=2$, et deux pour $\alpha=0$. ✓

Remarque : le cas $\alpha=0$ dit que $P'$ s'annule exactement une fois entre deux racines consécutives de $P$. C'est un cas particulier du théorème de Rolle, qui sera démontré en première année d'études supérieures : entre deux points où une fonction dérivable prend la même valeur, sa dérivée s'annule.