Exercice 43

1. La fonction $g : x\mapsto f(x)-Mx$ est dérivable sur $[a\,;b]$, de dérivée $g'(x)=f'(x)-M\leqslant 0$. Elle est donc décroissante, et $g(b)\leqslant g(a)$ : $$f(b)-Mb\leqslant f(a)-Ma \qquad\text{soit}\qquad f(b)-f(a)\leqslant M(b-a)$$ De même, $h : x\mapsto f(x)-mx$ a pour dérivée $h'(x)=f'(x)-m\geqslant 0$. Elle est croissante, donc $h(b)\geqslant h(a)$, c'est-à-dire $f(b)-f(a)\geqslant m(b-a)$. $$\boxed{m(b-a)\leqslant f(b)-f(a)\leqslant M(b-a)}$$

2. L'hypothèse $\left|f'(x)\right|\leqslant K$ s'écrit $-K\leqslant f'(x)\leqslant K$. La question 1, avec $m=-K$ et $M=K$, donne $-K(b-a)\leqslant f(b)-f(a)\leqslant K(b-a)$. Comme $b-a=|b-a|$ : $$\boxed{\left|f(b)-f(a)\right|\leqslant K\,|b-a|}$$ Soient maintenant $x$ et $y$ dans $[a\,;b]$. Si $x=y$, l'inégalité est évidente. Si $x<y$, l'hypothèse sur $f'$ vaut en particulier sur $[x\,;y]$, et ce qui précède, appliqué à cet intervalle, donne $\left|f(y)-f(x)\right|\leqslant K\,|y-x|$. Si $x>y$, on échange les rôles de $x$ et $y$, les deux membres étant symétriques. $$\boxed{\text{pour tous } x,y\in[a\,;b], \quad \left|f(y)-f(x)\right|\leqslant K\,|y-x|}$$

Interprétation : si $f(t)$ désigne la position d'un mobile à l'instant $t$, la dérivée est sa vitesse. L'inégalité dit qu'un mobile dont la vitesse ne dépasse jamais $K$ ne peut parcourir, entre les instants $a$ et $b$, une distance supérieure à $K(b-a)$.

Remarque : le nom vient du théorème des accroissements finis, étudié après le baccalauréat, qui affirme plus précisément l'existence d'un réel $c\in\,]a\,;b[$ tel que $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$.