Exercice 16

1. Fausse. On oublie le facteur $u'$. Avec $u(x)=x^{2}+1$, on a $u'(x)=2x$ et $$\left[(x^{2}+1)^{5}\right]'=5\times 2x\times (x^{2}+1)^{4}=\boxed{10x(x^{2}+1)^{4}}$$

2. Vraie. Avec $u(x)=3x$, $u'(x)=3$, la formule $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\mathrm{e}^{u}$ donne bien $3\,\mathrm{e}^{3x}$.

3. Fausse. La formule correcte est $\left(\dfrac{1}{u}\right)'=-\dfrac{u'}{u^{2}}$. Contre-exemple : avec $u(x)=x$, la dérivée de $\frac{1}{x}$ est $-\frac{1}{x^{2}}$, alors que la formule proposée donnerait $-\frac{1}{1}=-1$.

4. Fausse. Il faut $u(x)>0$ strictement. Contre-exemple : $u(x)=x$ sur $I=[0\,;+\infty[$ vérifie bien $u(x)\geqslant 0$, mais $\sqrt{x}$ n'est pas dérivable en $0$ (sa courbe y admet une tangente verticale).

5. Vraie. Pour tout réel $x$, $x^{2}+1\geqslant 1>0$ : la condition $u>0$ est satisfaite sur $\mathbb{R}$ tout entier, et $\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)'=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$.

6. Fausse. La formule correcte est $(f\circ u)'(x)=u'(x)\times f'\big(u(x)\big)$. Contre-exemple : avec $f(t)=t^{2}$ et $u(x)=2x$, on a $(f\circ u)(x)=4x^{2}$ donc $(f\circ u)'(x)=8x$ ; tandis que $f'\big(u'(x)\big)=f'(2)=4$. Les deux expressions n'ont même pas la même nature : l'une dépend de $x$, l'autre non.