Exercice 17

La courbe donnée est celle de $f'$ : c'est une parabole tournée vers le haut, coupant l'axe des abscisses en $-1$ et en $3$, et de sommet d'abscisse $1$.

1. Par lecture graphique, $f'(x)>0$ sur $]-\infty\,;-1[$ et sur $]3\,;+\infty[$, et $f'(x)<0$ sur $]-1\,;3[$.

$f$ admet donc un maximum local en $-1$ et un minimum local en $3$.

2. Toujours graphiquement, $\boxed{f' \text{ est décroissante sur } ]-\infty\,;1] \text{ et croissante sur } [1\,;+\infty[.}$

3. Le cours donne : $f$ est convexe si et seulement si $f'$ est croissante. On en déduit donc : $$\boxed{f \text{ est concave sur } ]-\infty\,;1] \text{ et convexe sur } [1\,;+\infty[.}$$

4. En $x=1$, $f'$ change de sens de variation, donc $f''$ y change de signe : la courbe de $f$ admet $\boxed{\text{un point d'inflexion d'abscisse } 1.}$

5. Non, ce ne sont pas les mêmes abscisses. Les extremums de $f$ se lisent là où $f'$ s'annule ($x=-1$ et $x=3$), c'est-à-dire là où la parabole coupe l'axe des abscisses. Le point d'inflexion se lit là où $f'$ atteint son extremum ($x=1$), c'est-à-dire au sommet de la parabole. Confondre $f'(x)=0$ et $f''(x)=0$ est l'erreur la plus courante du chapitre.