Exercice 18

a) $f(x)=x^{3}-6x^{2}+5x-2$ : $f'(x)=3x^{2}-12x+5$ puis $$f''(x)=6x-12=6(x-2)$$ $f''$ est négative sur $]-\infty\,;2]$ et positive sur $[2\,;+\infty[$, en changeant de signe en $2$ : $$\boxed{f \text{ concave sur } ]-\infty\,;2],\ \text{convexe sur } [2\,;+\infty[,\ \text{point d'inflexion en } x=2 \ \big(f(2)=-8\big).}$$

b) $f(x)=x^{4}-2x^{3}$ : $f'(x)=4x^{3}-6x^{2}$ puis $$f''(x)=12x^{2}-12x=12x(x-1)$$ Ce produit est positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles : $$\boxed{f \text{ convexe sur } ]-\infty\,;0] \text{ et } [1\,;+\infty[,\ \text{concave sur } [0\,;1],\ \text{deux points d'inflexion en } 0 \text{ et } 1.}$$ avec $f(0)=0$ et $f(1)=-1$.

c) $f(x)=-x^{3}+3x+1$ : $f'(x)=-3x^{2}+3$ puis $f''(x)=-6x$, du signe contraire de $x$ : $$\boxed{f \text{ convexe sur } ]-\infty\,;0],\ \text{concave sur } [0\,;+\infty[,\ \text{point d'inflexion en } 0 \ \big(f(0)=1\big).}$$

d) $f(x)=x^{4}+2$ : $f'(x)=4x^{3}$ puis $f''(x)=12x^{2}$.

Un carré étant toujours positif, $f''(x)\geqslant 0$ sur $\mathbb{R}$ : $$\boxed{f \text{ est convexe sur } \mathbb{R}.}$$ Commentaire. On a bien $f''(0)=0$, et pourtant la courbe n'admet aucun point d'inflexion : la dérivée seconde s'annule sans changer de signe. La condition du cours est bien « $f''$ s'annule en changeant de signe » — s'annuler ne suffit pas.