Exercice 19

Sur les quatre figures qui suivent, les portions convexes de la courbe sont tracées en bleu ardoise, les portions concaves en violet, et les points d'inflexion sont marqués d'un point noir.

1. $f(x)=x\,\mathrm{e}^{x}$ : $f'(x)=\mathrm{e}^{x}+x\,\mathrm{e}^{x}=(x+1)\mathrm{e}^{x}$, puis $$f''(x)=\mathrm{e}^{x}+(x+1)\mathrm{e}^{x}=(x+2)\,\mathrm{e}^{x}$$ Comme $\mathrm{e}^{x}>0$, le signe de $f''$ est celui de $x+2$ : $$\boxed{f \text{ est concave sur } ]-\infty\,;-2] \text{ et convexe sur } [-2\,;+\infty[.}$$ La courbe admet un point d'inflexion en $x=-2$, d'ordonnée $f(-2)=-2\mathrm{e}^{-2}$.

2. $g(x)=\sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ : $g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{\sqrt{x}}$. On dérive $\dfrac{1}{u}$ avec $u=\sqrt{x}$ : $$\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)'=-\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x}\right)^{2}} =-\frac{1}{2x\sqrt{x}} \qquad\text{donc}\qquad g''(x)=\frac{1}{2}\times\left(-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\right) =-\frac{1}{4x\sqrt{x}}$$ Pour $x>0$, $g''(x)<0$ : $$\boxed{g \text{ est concave sur } ]0\,;+\infty[,\ \text{sans point d'inflexion.}}$$

On a ajouté en pointillés gris la tangente au point d'abscisse $4$ : conformément à la définition, la courbe reste en dessous de sa tangente, ce qui est bien la traduction géométrique de la concavité.

3. $h(x)=\dfrac{1}{x}$ : $h'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}$ puis $h''(x)=\dfrac{2}{x^{3}}$, du signe de $x$ : $$\boxed{h \text{ est convexe sur } ]0\,;+\infty[ \text{ et concave sur } ]-\infty\,;0[.}$$ Attention : il n'y a pas de point d'inflexion en $0$, car $0$ n'appartient pas à l'ensemble de définition. On ne peut pas parler de changement de convexité « en traversant » une valeur où la fonction n'existe pas.

La figure rend cette remarque très visible : les deux branches ne se rejoignent pas, il ne s'agit pas d'une courbe qui traverse sa tangente en changeant de convexité.

4. $k(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ : $k'(x)=-2x\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$, puis, avec la formule du produit : $$k''(x)=-2\,\mathrm{e}^{-x^{2}}+(-2x)\times(-2x)\mathrm{e}^{-x^{2}} =\left(4x^{2}-2\right)\mathrm{e}^{-x^{2}}=2\left(2x^{2}-1\right)\mathrm{e}^{-x^{2}}$$ Le signe est celui de $2x^{2}-1$, qui s'annule en $\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : $$\boxed{k \text{ convexe sur } \left]-\infty\,;-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right] \text{ et } \left[\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,;+\infty\right[,\ \text{concave entre les deux.}}$$ La courbe admet donc deux points d'inflexion, d'abscisses $\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, et d'ordonnée commune $\mathrm{e}^{-1/2}\approx 0{,}607$.

C'est la célèbre « courbe en cloche » : elle est concave au voisinage de son sommet, puis convexe de part et d'autre, les deux changements de convexité se produisant exactement aux abscisses $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.