Exercice 20

1. $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ donne $f'(x)=\mathrm{e}^{x}$ puis $f''(x)=\mathrm{e}^{x}$. Or l'exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$, donc $f''(x)>0$ et $$\boxed{f \text{ est convexe sur } \mathbb{R}.}$$

2. $f(0)=\mathrm{e}^{0}=1$ et $f'(0)=1$, donc : $$y=1\times(x-0)+1 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{T : y=x+1}$$

3. Le cours définit une fonction convexe comme une fonction dont la courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes. On en déduit donc, sans aucun calcul : $$\boxed{\text{pour tout réel } x,\quad \mathrm{e}^{x}\geqslant x+1}$$

4. Posons $g(x)=\mathrm{e}^{x}-x-1$. Alors $g'(x)=\mathrm{e}^{x}-1$, et $$g'(x)\geqslant 0 \iff \mathrm{e}^{x}\geqslant 1 \iff x\geqslant 0$$ La fonction $g$ est donc décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$ : elle atteint son minimum en $0$, et $$g(0)=\mathrm{e}^{0}-0-1=0$$ Ainsi $g(x)\geqslant g(0)=0$ pour tout réel $x$, c'est-à-dire $\mathrm{e}^{x}-x-1\geqslant 0$ : on retrouve bien l'inégalité précédente.

5. L'inégalité appliquée en $x=0{,}1$ donne une minoration : $$\mathrm{e}^{0,1}\geqslant 1+0{,}1=1{,}1$$ Pour obtenir une majoration, on applique la même inégalité en $x=-0{,}1$ : $$\mathrm{e}^{-0,1}\geqslant 1-0{,}1=0{,}9 \quad\text{soit}\quad \frac{1}{\mathrm{e}^{0,1}}\geqslant 0{,}9 \quad\text{soit}\quad \mathrm{e}^{0,1}\leqslant \frac{1}{0{,}9}=\frac{10}{9}$$

$$\boxed{1{,}1\leqslant \mathrm{e}^{0,1}\leqslant \frac{10}{9}\approx 1{,}111}$$ La calculatrice donne $\mathrm{e}^{0,1}\approx 1{,}10517$ : l'encadrement est correct, et la minoration $1{,}1$ est déjà excellente (erreur inférieure à $6\times 10^{-3}$).