Exercice 21

1. $C(x)=0{,}05x^{3}-1{,}5x^{2}+20x$ donne : $$C'(x)=0{,}15x^{2}-3x+20$$ C'est un trinôme du second degré de discriminant $$\Delta=(-3)^{2}-4\times 0{,}15\times 20=9-12=-3<0$$ Un trinôme de discriminant strictement négatif ne s'annule jamais et garde le signe de son coefficient dominant, ici $0{,}15>0$. Donc $C'(x)>0$ pour tout $x$, et $$\boxed{C \text{ est strictement croissante sur } [0\,;30].}$$ Interprétation : produire davantage coûte toujours plus cher au total, ce qui était attendu.

2. $C''(x)=0{,}3x-3=0{,}3(x-10)$, qui s'annule en $10$ en changeant de signe.

3. On en déduit donc : $$\boxed{C \text{ est concave sur } [0\,;10] \text{ et convexe sur } [10\,;30],\ \text{avec un point d'inflexion en } x=10.}$$ On calcule $C(10)=0{,}05\times 1000-1{,}5\times 100+200=50-150+200=100$ : le point d'inflexion est le point de coordonnées $(10\,;100)$.

4. D'après le tableau ci-dessus, $C'$ est décroissante puis croissante, et atteint donc son minimum en $x=10$ : $$C'(10)=0{,}15\times 100-30+20=15-30+20=\boxed{5}$$ Le coût marginal est minimal pour une production de $\boxed{10 \text{ centaines, soit } 1\,000 \text{ objets}}$, et vaut alors $5$ centaines d'euros par centaine d'objets supplémentaire.

5. Interprétation économique. Avant $x=10$, la fonction coût est concave : chaque centaine d'objets supplémentaire coûte moins cher que la précédente — l'entreprise bénéficie de rendements croissants (les frais fixes se répartissent, l'organisation se rode). Après $x=10$, la fonction devient convexe : chaque centaine supplémentaire coûte plus cher que la précédente — heures supplémentaires, saturation des machines, rendements décroissants. Le point d'inflexion marque donc le seuil de production le plus efficace à la marge.