Exercice 22

1. Vraie. C'est la seconde partie de la proposition 4 du cours : la dérivabilité entraîne la continuité.

2. Fausse. C'est la réciproque de la précédente, et elle est fausse. Contre-exemple : la fonction valeur absolue $x\mapsto |x|$ est continue sur $\mathbb{R}$, mais n'est pas dérivable en $0$ (point anguleux).

3. Fausse. La fonction partie entière est discontinue en chaque entier : sa courbe est un escalier dont chaque marche impose de lever le crayon. Elle est en revanche continue sur tout intervalle $[n\,;n+1[$.

4. Vraie. Une fonction rationnelle est continue sur chaque intervalle de son ensemble de définition. Attention à la formulation : $x\mapsto \frac{1}{x}$ est continue sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$, mais il serait incorrect de dire qu'elle est continue « sur $\mathbb{R}^{*}$ » vu comme un seul bloc.

5. Vraie. C'est le théorème des valeurs intermédiaires appliqué avec $k=0$ : si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, alors $0$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$.

6. Fausse. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit au moins une solution, jamais l'unicité. Contre-exemple : $f(x)=x^{3}-3x+1$ sur $[-2\,;2]$ avec $k=0$ admet trois solutions (voir l'exercice suivant). Énoncé correct : il faut ajouter que $f$ est strictement monotone sur $[a\,;b]$ — c'est le corollaire.