Exercice 23

1. $f$ est une fonction polynôme, donc $\boxed{f \text{ est continue sur } \mathbb{R}.}$

2. On calcule :

• $f(-2)=-8+6+1=\boxed{-1}$

• $f(0)=\boxed{1}$

• $f(1)=1-3+1=\boxed{-1}$

• $f(2)=8-6+1=\boxed{3}$

3. On applique trois fois le théorème des valeurs intermédiaires, sur trois intervalles distincts :

• Sur $[-2\,;0]$ : $f$ est continue et $f(-2)=-1<0<1=f(0)$, donc il existe $c_{1}\in\,]-2\,;0[$ tel que $f(c_{1})=0$.

• Sur $[0\,;1]$ : $f$ est continue et $f(1)=-1<0<1=f(0)$, donc il existe $c_{2}\in\,]0\,;1[$ tel que $f(c_{2})=0$.

• Sur $[1\,;2]$ : $f$ est continue et $f(1)=-1<0<3=f(2)$, donc il existe $c_{3}\in\,]1\,;2[$ tel que $f(c_{3})=0$.

Ces trois intervalles ouverts étant disjoints, les solutions $c_1$, $c_2$ et $c_3$ sont deux à deux distinctes : $$\boxed{\text{l'équation } f(x)=0 \text{ admet au moins trois solutions.}}$$

4. Non. Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème d'existence : il ne dit rien du nombre de solutions. Pour conclure qu'il y en a exactement trois, il faut invoquer le corollaire, donc établir la stricte monotonie de $f$ sur chaque intervalle. Ici : $$f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)$$ donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;-1]$, strictement décroissante sur $[-1\,;1]$, puis strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$. Sur chacune de ces trois branches, l'équation $f(x)=0$ admet au plus une solution : il y en a donc exactement trois.