Exercice 24

1. $f$ est une fonction polynôme, donc continue et dérivable sur $\mathbb{R}$. De plus : $$f'(x)=3x^{2}+3$$ Comme $3x^{2}\geqslant 0$, on a $f'(x)\geqslant 3>0$ pour tout réel $x$, donc $$\boxed{f \text{ est strictement croissante sur } \mathbb{R}.}$$

2. $f(x)=x^{3}+3x-5=x^{3}\left(1+\dfrac{3}{x^{2}}-\dfrac{5}{x^{3}}\right)$, la parenthèse tendant vers $1$ : $$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\boxed{-\infty}\qquad\text{et}\qquad \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\boxed{+\infty}$$

3. On rédige les trois vérifications de la méthode :

(a) $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (fonction polynôme, donc dérivable donc continue).

(b) $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (question 1.).

(c) Le réel $0$ est compris entre les limites de $f$ aux bornes, à savoir $-\infty$ et $+\infty$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : $$\boxed{\text{l'équation } f(x)=0 \text{ admet une unique solution } \alpha \text{ dans } \mathbb{R}.}$$

4. $f(1)=1+3-5=-1<0$ et $f(2)=8+6-5=9>0$. Comme $f$ est strictement croissante et s'annule en $\alpha$, on a nécessairement $\boxed{\alpha\in\,]1\,;2[.}$

5. Balayage à la calculatrice, de pas $0{,}1$ puis $0{,}01$ : $$f(1{,}1)\approx -0{,}369<0 \qquad\text{et}\qquad f(1{,}2)\approx 0{,}328>0 \qquad\text{donc}\qquad \alpha\in\,]1{,}1\,;1{,}2[$$