Exercice 25

On raisonne branche par branche. Sur chacune des trois branches, $f$ est continue et strictement monotone : le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires s'applique, et l'équation $f(x)=k$ y admet une solution si et seulement si $k$ appartient à l'intervalle image, auquel cas cette solution est unique.

Les trois intervalles images sont : $$\text{branche 1 : } ]-\infty\,;4] \qquad \text{branche 2 : } [-2\,;4] \qquad \text{branche 3 : } [-2\,;+\infty[$$

1. $k=0$ : on a $0\in\,]-\infty\,;4]$, $0\in[-2\,;4]$ et $0\in[-2\,;+\infty[$. Chaque branche fournit exactement une solution : $$\boxed{\text{l'équation } f(x)=0 \text{ admet } 3 \text{ solutions.}}$$

2. $k=5$ : $5>4$, donc $5$ n'appartient ni à l'image de la branche 1, ni à celle de la branche 2. Il appartient en revanche à $[-2\,;+\infty[$ : $$\boxed{\text{l'équation } f(x)=5 \text{ admet } 1 \text{ solution.}}$$

$k=-3$ : $-3<-2$, donc $-3$ n'appartient pas aux images des branches 2 et 3. Il appartient à $]-\infty\,;4]$ : $$\boxed{\text{l'équation } f(x)=-3 \text{ admet } 1 \text{ solution.}}$$

3. $k=4$ : la valeur $4$ est atteinte, en $x=-1$. Sur la branche 1, $f$ croît strictement de $-\infty$ jusqu'à $4$ : la valeur $4$ n'y est atteinte qu'à l'extrémité $x=-1$. Sur la branche 2, $f$ décroît de $4$ à $-2$ : elle vaut $4$ au point de départ, qui est le même $x=-1$ — cette solution ne doit pas être comptée deux fois. Sur la branche 3, $f$ croît de $-2$ à $+\infty$ et $4\in\,]-2\,;+\infty[$ : une solution supplémentaire. $$\boxed{\text{l'équation } f(x)=4 \text{ admet } 2 \text{ solutions.}}$$

4. $k=-2$ : cette valeur est le minimum, atteint en $x=3$, qui est commun aux branches 2 et 3 (donc une seule solution pour ces deux branches). Sur la branche 1, $-2\in\,]-\infty\,;4]$ donne une solution supplémentaire. $$\boxed{\text{l'équation } f(x)=-2 \text{ admet } 2 \text{ solutions.}}$$

5. Non. Le tableau de variations renseigne sur le signe de $f'$, mais absolument pas sur les variations de $f'$, donc pas sur le signe de $f''$. Or ce sont les changements de signe de $f''$ qui donnent les points d'inflexion. Pour répondre, il faudrait disposer du tableau de variations de $f'$, ou du tableau de signes de $f''$.

Piège classique : on a envie de répondre « il y a un point d'inflexion entre le maximum et le minimum ». C'est vraisemblable, mais nullement démontrable à partir de ce seul tableau — et le nombre exact de points d'inflexion peut être bien plus grand.