Exercice 30 Type Bac

1. $f(x)=(x+2)\mathrm{e}^{-x}$ est un produit $uv$ avec $u(x)=x+2$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$, donc $u'(x)=1$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$ : $$f'(x)=1\times\mathrm{e}^{-x}+(x+2)\times\left(-\mathrm{e}^{-x}\right) =\mathrm{e}^{-x}\big(1-x-2\big)=\boxed{(-x-1)\,\mathrm{e}^{-x}}$$ Piège classique : la dérivée de $\mathrm{e}^{-x}$ est $-\mathrm{e}^{-x}$, et non $\mathrm{e}^{-x}$ — c'est le facteur $u'=-1$.

2. Comme $\mathrm{e}^{-x}>0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $-x-1$, qui s'annule en $-1$ et est positif pour $x<-1$ :

avec $f(-2)=0\times\mathrm{e}^{2}=0$, $\ f(-1)=1\times\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}$ et $f(4)=6\,\mathrm{e}^{-4}$.

3. $f(0)=2\times\mathrm{e}^{0}=2$ et $f'(0)=(-0-1)\mathrm{e}^{0}=-1$, donc : $$y=-1\times(x-0)+2 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{T : y=-x+2}$$

4. On dérive $f'(x)=(-x-1)\mathrm{e}^{-x}$, encore un produit : $$f''(x)=(-1)\times\mathrm{e}^{-x}+(-x-1)\times\left(-\mathrm{e}^{-x}\right) =\mathrm{e}^{-x}\big(-1+x+1\big)=\boxed{x\,\mathrm{e}^{-x}}$$ Le signe de $f''$ est celui de $x$, d'où : $$\boxed{f \text{ est concave sur } [-2\,;0] \text{ et convexe sur } [0\,;4].}$$

5. La dérivée seconde s'annule en $0$ en changeant de signe, donc la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse $0$, et $f(0)=2$ : $$\boxed{\text{le point d'inflexion a pour coordonnées } (0\,;2).}$$ On remarque que c'est précisément le point de contact de la tangente $T$ : en ce point, la courbe traverse sa tangente.

6. On examine les deux branches, en gardant en tête que $\mathrm{e}\approx 2{,}718$ et $6\mathrm{e}^{-4}\approx 0{,}110$ :

• Sur $[-2\,;-1]$, $f$ est continue et strictement croissante de $0$ à $\mathrm{e}$. Comme $1\in\,]0\,;\mathrm{e}[$, il existe une unique solution $\alpha$.

• Sur $[-1\,;4]$, $f$ est continue et strictement décroissante de $\mathrm{e}$ à $6\mathrm{e}^{-4}$. Comme $1\in\,]6\mathrm{e}^{-4}\,;\mathrm{e}[$, il existe une unique solution $\beta$.

$$\boxed{\text{l'équation } f(x)=1 \text{ admet exactement deux solutions sur } [-2\,;4].}$$ À la calculatrice : $$f(-1{,}85)\approx 0{,}954<1 \quad\text{et}\quad f(-1{,}84)\approx 1{,}007>1 \qquad\text{donc}\qquad \boxed{-1{,}85<\alpha<-1{,}84}$$