Exercice 10

1. On réduit au même dénominateur : $$2-\frac{3}{x-1}=\frac{2(x-1)}{x-1}-\frac{3}{x-1}=\frac{2x-2-3}{x-1} =\boxed{\frac{2x-5}{x-1}=f(x)}$$ Piège classique : il faut bien distribuer le $2$ sur $x-1$, et non écrire $2x-1$.

2. Sous cette forme, tout se lit sur le terme $\dfrac{3}{x-1}$ : $$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=2-0=\boxed{2}$$

3. $\boxed{y=2 \text{ est asymptote horizontale, et } x=1 \text{ asymptote verticale.}}$

4. $f(x)-2=-\dfrac{3}{x-1}$. Comme $-3<0$, ce quotient est du signe contraire de $x-1$ :

• pour $x<1$ : $f(x)-2>0$, donc $\boxed{\mathcal{C}_f \text{ est au-dessus de son asymptote.}}$

• pour $x>1$ : $f(x)-2<0$, donc $\boxed{\mathcal{C}_f \text{ est en dessous de son asymptote.}}$

5. L'équation $f(x)=2$ équivaudrait à $-\dfrac{3}{x-1}=0$, ce qui est impossible : un quotient de numérateur non nul ne s'annule jamais. Donc $$\boxed{\mathcal{C}_f \text{ ne coupe jamais son asymptote horizontale.}}$$ On remarquera que ce n'est pas une règle générale : le cours rappelle qu'une courbe peut parfaitement traverser son asymptote, et même une infinité de fois, comme celle de $x\mapsto \frac{\sin x}{x}$.

6. On rassemble tous les renseignements obtenus : deux asymptotes, d'équations $x=1$ et $y=2$ ; la courbe est au-dessus de l'asymptote horizontale à gauche de $1$, en dessous à droite, et ne la coupe jamais. On place enfin quelques points pour caler le tracé : $$f(-5)=\frac{-15}{-6}=2{,}5 \qquad f(0)=\frac{-5}{-1}=5 \qquad f\left(\frac{5}{2}\right)=0 \qquad f(4)=\frac{3}{3}=1 \qquad f(7)=\frac{9}{6}=1{,}5$$

On vérifie sur le tracé tout ce qui précède : la branche de gauche reste strictement au-dessus de la droite $y=2$, celle de droite strictement en dessous, et aucune des deux ne la franchit. La courbe coupe en revanche l'axe des abscisses en $x=\frac{5}{2}$, seul point où $2x-5=0$.