Exercice 9

Dans les quatre figures qui suivent, la courbe est tracée en bleu ardoise et les asymptotes en pointillés violets.

1. $f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$, définie sur $\boxed{\mathbb{R}\setminus\{-2\}}$.

En $\pm\infty$ : $f(x)=\dfrac{3-\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}\to 3$, donc $\boxed{y=3 \text{ est asymptote horizontale.}}$

En $-2$, le numérateur tend vers $-7<0$ : $\lim\limits_{x\to -2^{+}} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -2^{-}} f(x)=+\infty$, donc $\boxed{x=-2 \text{ est asymptote verticale.}}$

2. $g(x)=5-\dfrac{4}{x-1}$, définie sur $\boxed{\mathbb{R}\setminus\{1\}}$.

En $\pm\infty$ : $\dfrac{4}{x-1}\to 0$, donc $g(x)\to 5$ et $\boxed{y=5 \text{ est asymptote horizontale.}}$

En $1$ : $\lim\limits_{x\to 1^{+}} g(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 1^{-}} g(x)=+\infty$, donc $\boxed{x=1 \text{ est asymptote verticale.}}$

3. $h(x)=\dfrac{2x^{2}+1}{x^{2}+3}$. Le piège est ici : pour tout réel $x$, on a $x^{2}+3\geqslant 3>0$, le dénominateur ne s'annule jamais. Donc $\boxed{h \text{ est définie sur } \mathbb{R} \text{ tout entier.}}$

En $\pm\infty$ : $h(x)=\dfrac{2+\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{3}{x^{2}}}\to 2$, donc $$\boxed{y=2 \text{ est asymptote horizontale, et il n'y a aucune asymptote verticale.}}$$

On voit sur la figure que la courbe se rapproche de la droite $y=2$ sans jamais l'atteindre, et qu'elle ne présente aucune branche verticale.

4. $k(x)=\dfrac{x+4}{x^{2}-1}=\dfrac{x+4}{(x-1)(x+1)}$, définie sur $\boxed{\mathbb{R}\setminus\{-1\,;1\}}$.

En $\pm\infty$ : le degré du dénominateur l'emporte, donc $k(x)\to 0$ et $$\boxed{y=0 \text{ est asymptote horizontale.}}$$

En $1$ : le numérateur tend vers $5>0$ et $x+1\to 2>0$, donc le signe est celui de $x-1$ : $$\lim_{x\to 1^{+}} k(x)=+\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to 1^{-}} k(x)=-\infty$$ En $-1$ : le numérateur tend vers $3>0$ et $x-1\to -2<0$, donc le signe est l'opposé de celui de $x+1$ : $$\lim_{x\to -1^{+}} k(x)=-\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to -1^{-}} k(x)=+\infty$$

On distingue bien les trois branches de la courbe, séparées par les deux asymptotes verticales, et l'axe des abscisses comme asymptote horizontale.