Exercice 8

1. Pour tout $x>0$ : $-1\leqslant \sin(x)\leqslant 1$ donne $1\leqslant 2+\sin(x)\leqslant 3$, puis, en divisant par $x>0$ (ce qui préserve l'ordre) : $$\frac{1}{x}\leqslant f(x) \leqslant \frac{3}{x}$$ Les deux fonctions encadrantes tendent vers $0$ en $+\infty$, donc d'après le théorème des gendarmes : $$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\boxed{0}$$

2. On commence par écrire $g(x)=\dfrac{3x+\cos(x)}{x}=3+\dfrac{\cos(x)}{x}$. Pour $x>0$ : $$3-\frac{1}{x}\leqslant g(x) \leqslant 3+\frac{1}{x}$$ Les deux encadrants tendent vers $3$, donc $$\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=\boxed{3}$$

3. Pour $x>0$ : $-\dfrac{1}{x^{2}}\leqslant h(x)\leqslant \dfrac{1}{x^{2}}$, et les deux encadrants tendent vers $0$, donc $$\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=\boxed{0}$$

4. Pour $x>0$ : $-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\leqslant k(x)\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{x}}$, et les deux encadrants tendent vers $0$, donc $$\lim\limits_{x\to +\infty} k(x)=\boxed{0}$$

On procède de la même manière à chaque fois : on part de l'encadrement de la fonction bornée ($\sin$ ou $\cos$ entre $-1$ et $1$), puis on effectue sur les trois membres les mêmes opérations que celles subies par cette fonction dans l'expression.