Exercice 7

1. On sait que $f(x)\geqslant x^{2}-5x$ pour tout $x\geqslant 0$. Or $$x^{2}-5x=x^{2}\left(1-\frac{5}{x}\right)\longrightarrow +\infty \quad\text{en } +\infty$$ La fonction $f$ est donc minorée par une fonction qui tend vers $+\infty$. D'après le théorème de comparaison : $$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\boxed{+\infty}$$

2. On sait que $g(x)\leqslant -x^{3}+2$ pour $x\geqslant 1$, et $-x^{3}+2=x^{3}\left(-1+\frac{2}{x^{3}}\right)\to -\infty$ en $+\infty$. La fonction $g$ est donc majorée par une fonction qui tend vers $-\infty$, d'où : $$\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=\boxed{-\infty}$$

3. $h(x)=x+\cos(x)$.

(a) Pour tout réel $x$, on a $-1\leqslant \cos(x)\leqslant 1$. En ajoutant $x$ aux trois membres : $$x-1\leqslant x+\cos(x)\leqslant x+1 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{h(x)\geqslant x-1 \ \text{ et } \ h(x)\leqslant x+1}$$

(b) $\lim\limits_{x\to +\infty}(x-1)=+\infty$, donc par comparaison $\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=\boxed{+\infty}$.

(c) $\lim\limits_{x\to -\infty}(x+1)=-\infty$, et $h(x)\leqslant x+1$, donc par comparaison $\lim\limits_{x\to -\infty} h(x)=\boxed{-\infty}$.

On remarque que la fonction cosinus n'admet aucune limite en $\pm\infty$ ; c'est bien le fait qu'elle soit bornée qui permet de conclure, et non une limite qu'elle n'a pas.