Exercice 6

1. Lorsque $x$ s'éloigne vers la droite comme vers la gauche, la courbe se rapproche de la droite horizontale d'ordonnée $1$ : $$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\boxed{1}\qquad\text{et}\qquad \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\boxed{1}$$

2. Au voisinage de $-2$, la courbe « part vers le haut » à droite et « vers le bas » à gauche : $$\lim_{x\to -2^{+}} f(x)=\boxed{+\infty}\qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to -2^{-}} f(x)=\boxed{-\infty}$$

3. $\boxed{y=1 \text{ est asymptote \textbf{horizontale}}}$ (limite finie en $\pm\infty$) et $\boxed{x=-2 \text{ est asymptote \textbf{verticale}}}$ (limite infinie en un réel).

4. Graphiquement, la courbe est au-dessus de la droite $y=1$ sur $\boxed{]-2\,;+\infty[}$, et en dessous sur $]-\infty\,;-2[$.

5. Avec $f(x)=\dfrac{x+4}{x+2}$ : $$f(x)=\frac{x\left(1+\frac{4}{x}\right)}{x\left(1+\frac{2}{x}\right)} =\frac{1+\frac{4}{x}}{1+\frac{2}{x}}\longrightarrow \frac{1}{1}=1 \qquad\text{en } +\infty \text{ comme en } -\infty$$ En $-2$, le numérateur tend vers $2>0$ et le dénominateur vers $0$ : $$\lim_{x\to -2^{+}} f(x)=+\infty \quad (x+2\to 0^{+}) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to -2^{-}} f(x)=-\infty \quad (x+2\to 0^{-})$$ Le calcul confirme la lecture graphique. On peut d'ailleurs vérifier la question 4. : $$f(x)-1=\frac{x+4}{x+2}-\frac{x+2}{x+2}=\boxed{\frac{2}{x+2}}$$ qui est strictement positif si et seulement si $x>-2$.