Exercice 5

1. $f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}$. Lorsque $x$ tend vers $1$, le numérateur tend vers $5$, qui est non nul : ce n'est donc pas une forme indéterminée, mais il faut déterminer un signe.

• Pour $x>1$, on a $x-1>0$, donc $x-1\to 0^{+}$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=\boxed{+\infty}$

• Pour $x<1$, on a $x-1<0$, donc $x-1\to 0^{-}$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=\boxed{-\infty}$

Ces deux limites étant différentes, $\boxed{f \text{ n'admet pas de limite en } 1.}$

2. $g(x)=\dfrac{x-4}{(x+2)^{2}}$. Le numérateur tend vers $-6<0$, et le dénominateur est un carré : il tend vers $0$ en restant strictement positif, quel que soit le côté par lequel on approche $-2$. Il n'y a donc pas lieu de distinguer les deux côtés : $$\lim_{x\to -2} g(x)=\boxed{-\infty}$$

3. $h(x)=\dfrac{x^{2}-9}{x-3}$. En $3$, le numérateur et le dénominateur tendent vers $0$ : c'est bien la forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$. On factorise le numérateur : $$h(x)=\frac{x^{2}-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3 \qquad\text{pour } x\neq 3$$ On en déduit donc que $\displaystyle\lim_{x\to 3} h(x)=\boxed{6}$.

4. $k(x)=\dfrac{x+5}{3-x}$. Le numérateur tend vers $8>0$. Attention au sens de la soustraction :

• Pour $x>3$, on a $3-x<0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}} k(x)=\boxed{-\infty}$

• Pour $x<3$, on a $3-x>0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}} k(x)=\boxed{+\infty}$

Piège classique : on écrit $3-x$ et non $x-3$ ; les signes sont donc inversés par rapport à la question 1.