Exercice 4

Dans chaque cas, numérateur et dénominateur tendent vers l'infini : il s'agit d'une forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$, que l'on lève en factorisant haut et bas par le terme de plus haut degré.

a) $f(x)=\dfrac{3x+1}{x-2} =\dfrac{x\left(3+\frac{1}{x}\right)}{x\left(1-\frac{2}{x}\right)} =\dfrac{3+\frac{1}{x}}{1-\frac{2}{x}}\longrightarrow \dfrac{3}{1}$, donc $$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\boxed{3}$$

b) $g(x)=\dfrac{x^{2}+3x}{2x^{2}-5} =\dfrac{x^{2}\left(1+\frac{3}{x}\right)}{x^{2}\left(2-\frac{5}{x^{2}}\right)} =\dfrac{1+\frac{3}{x}}{2-\frac{5}{x^{2}}}\longrightarrow \dfrac{1}{2}$, donc $$\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=\boxed{\dfrac{1}{2}}$$

c) $h(x)=\dfrac{4x-7}{x^{2}+1} =\dfrac{x\left(4-\frac{7}{x}\right)}{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)} =\dfrac{4-\frac{7}{x}}{x\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}$.

Le numérateur tend vers $4$ et le dénominateur vers $\pm\infty$, donc $$\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} h(x)=\boxed{0}$$

d) $k(x)=\dfrac{5x^{2}-1}{3-x} =\dfrac{x^{2}\left(5-\frac{1}{x^{2}}\right)}{x\left(\frac{3}{x}-1\right)} =\dfrac{x\left(5-\frac{1}{x^{2}}\right)}{\frac{3}{x}-1}$.

Le dénominateur tend vers $-1$ et le numérateur se comporte comme $5x$, donc $$\lim\limits_{x\to +\infty} k(x)=\boxed{-\infty}\qquad\text{et}\qquad \lim\limits_{x\to -\infty} k(x)=\boxed{+\infty}$$

On en déduit la règle pratique : en $\pm\infty$, une fonction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré. Ici : $\frac{3x}{x}$, $\frac{x^2}{2x^2}$, $\frac{4x}{x^{2}}$ et $\frac{5x^{2}}{-x}$.