Exercice 3

On factorise à chaque fois par le terme de plus haut degré.

a) $f(x)=x^{3}-5x^{2}+2=x^{3}\left(1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^{3}}\right)$.

La parenthèse tend vers $1$ en $+\infty$ comme en $-\infty$. Ce qui nous donne : $$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\boxed{+\infty}\qquad\text{et}\qquad \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\boxed{-\infty}$$

b) $g(x)=-2x^{4}+7x-3=x^{4}\left(-2+\dfrac{7}{x^{3}}-\dfrac{3}{x^{4}}\right)$.

La parenthèse tend vers $-2$, et $x^{4}\to+\infty$ des deux côtés : $$\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=\boxed{-\infty}\qquad\text{et}\qquad \lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=\boxed{-\infty}$$

c) $h(x)=-x^{5}+x^{3}+100x=x^{5}\left(-1+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{100}{x^{4}}\right)$.

La parenthèse tend vers $-1$ : $$\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=\boxed{-\infty}\qquad\text{et}\qquad \lim\limits_{x\to -\infty} h(x)=\boxed{+\infty}$$

d) $k(x)=4x^{2}-9x^{3}=x^{3}\left(\dfrac{4}{x}-9\right)$.

La parenthèse tend vers $-9$ : $$\lim\limits_{x\to +\infty} k(x)=\boxed{-\infty}\qquad\text{et}\qquad \lim\limits_{x\to -\infty} k(x)=\boxed{+\infty}$$

On retiendra la règle générale ainsi mise en évidence : en $\pm\infty$, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.