ExerciceTerminale, chapitre 3 — Fonctions numériques · Limites d'une fonction

Exercice 2

Calcul

Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant les limites indiquées en $\alpha$ , où $\alpha$ désigne $-\infty$ , un réel $a$ ou $+\infty$ . Recopier et compléter le tableau suivant : on écrira la limite de $f+g$ , de $fg$ et de $\dfrac{f}{g}$ , ou bien « F.I. » s'il s'agit d'une forme indéterminée.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & \lim f & \lim g & \lim (f+g) & \lim (fg) & \lim \dfrac{f}{g} \\ \hline \text{1.} & 5 & +\infty & & & \\ \hline \text{2.} & -\infty & +\infty & & & \\ \hline \text{3.} & 0 & +\infty & & & \\ \hline \text{4.} & -2 & 0 & & & \\ \hline \text{5.} & +\infty & +\infty & & & \\ \hline \text{6.} & 0 & 0 & & & \\ \hline \end{array}

Une case n'est pas une forme indéterminée mais demande cependant une information supplémentaire avant de conclure : la repérer et préciser laquelle.

Corrigé

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & \lim f & \lim g & \lim (f+g) & \lim (fg) & \lim \dfrac{f}{g} \\ \hline \text{1.} & 5 & +\infty & +\infty & +\infty & 0 \\ \hline \text{2.} & -\infty & +\infty & \text{F.I.} & -\infty & \text{F.I.} \\ \hline \text{3.} & 0 & +\infty & +\infty & \text{F.I.} & 0 \\ \hline \text{4.} & -2 & 0 & -2 & 0 & \pm\infty \\ \hline \text{5.} & +\infty & +\infty & +\infty & +\infty & \text{F.I.} \\ \hline \text{6.} & 0 & 0 & 0 & 0 & \text{F.I.} \\ \hline \end{array}

La case à repérer est celle de la ligne 4, colonne $\dfrac{f}{g}$ . Ce n'est pas une forme indéterminée : le numérateur tend vers $-2\neq 0$ et le dénominateur vers $0$ , donc le quotient tend vers l'infini. Mais le signe de cet infini dépend du signe de $g$ au voisinage du point considéré : si $g$ reste positive, le quotient tend vers $-\infty$  ; si $g$ reste négative, il tend vers $+\infty$ . C'est exactement pour cela que l'on distingue la limite à droite et la limite à gauche.

Piège classique : on retiendra qu'il n'existe que quatre formes indéterminées, et que $\dfrac{\ell}{0}$ avec $\ell\neq 0$ n'en fait pas partie.

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Limite d'une fonction en un point

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