Exercice 11

a) $f(x)=3x^{4}-2x^{3}+5x-1$ sur $\mathbb{R}$ : $\quad f'(x)=3\times 4x^{3}-2\times 3x^{2}+5=\boxed{12x^{3}-6x^{2}+5}$

b) $g(x)=(2x-1)(x^{2}+3)$ sur $\mathbb{R}$, de la forme $uv$ : $$g'(x)=2\times(x^{2}+3)+(2x-1)\times 2x=2x^{2}+6+4x^{2}-2x=\boxed{6x^{2}-2x+6}$$

c) $h(x)=\dfrac{x+2}{x-3}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{3\}$, de la forme $\dfrac{u}{v}$ : $$h'(x)=\frac{1\times(x-3)-(x+2)\times 1}{(x-3)^{2}}=\frac{x-3-x-2}{(x-3)^{2}} =\boxed{\frac{-5}{(x-3)^{2}}}$$ Piège classique : le signe $-$ devant la parenthèse porte sur $x$ et sur $2$.

d) $k(x)=5\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ : $$k'(x)=5\times\frac{1}{2\sqrt{x}}-\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) =\boxed{\frac{5}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{x^{2}}}$$

e) $m(x)=x^{2}\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$, de la forme $uv$ : $$m'(x)=2x\,\mathrm{e}^{x}+x^{2}\mathrm{e}^{x}=\boxed{x(x+2)\,\mathrm{e}^{x}}$$

f) $n(x)=(x-1)\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$ : $$n'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+(x-1)\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}\big(1+x-1\big) =\boxed{x\,\mathrm{e}^{x}}$$