Exercice 12

On applique à chaque fois la formule $\; y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

a) $f(x)=x^{3}-2x+1$, $a=1$ : $f(1)=1-2+1=0$ et $f'(x)=3x^{2}-2$ donc $f'(1)=1$. $$y=1\times(x-1)+0=\boxed{y=x-1}$$

b) $f(x)=\sqrt{x}$, $a=4$ : $f(4)=2$ et $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ donc $f'(4)=\dfrac{1}{4}$. $$y=\frac{1}{4}(x-4)+2=\frac{x}{4}-1+2=\boxed{y=\frac{x}{4}+1}$$

c) $f(x)=\mathrm{e}^{x}$, $a=0$ : $f(0)=1$ et $f'(0)=\mathrm{e}^{0}=1$. $$y=1\times(x-0)+1=\boxed{y=x+1}$$

d) $f(x)=\dfrac{1}{x}$, $a=-2$ : $f(-2)=-\dfrac{1}{2}$ et $f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}$ donc $f'(-2)=-\dfrac{1}{4}$. $$y=-\frac{1}{4}\big(x-(-2)\big)-\frac{1}{2}=-\frac{x}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} =\boxed{y=-\frac{x}{4}-1}$$ Attention au double signe $-$ : $x-a$ vaut ici $x+2$.