Exercice 13

On utilise les cas particuliers de la proposition 3, en n'oubliant jamais le facteur $u'(x)$.

a) $u(x)=2x-7$, $u'(x)=2$, forme $u^{5}$ : $\quad f'(x)=5\times 2\times(2x-7)^{4}=\boxed{10(2x-7)^{4}}$

b) $u(x)=x^{2}+x+1$, $u'(x)=2x+1$, forme $u^{3}$ : $\quad g'(x)=\boxed{3(2x+1)(x^{2}+x+1)^{2}}$

c) $u(x)=3x+4$, $u'(x)=3$, forme $\sqrt{u}$, sur $\left]-\frac{4}{3}\,;+\infty\right[$ : $\quad h'(x)=\boxed{\dfrac{3}{2\sqrt{3x+4}}}$

d) $u(x)=x^{2}+1$, $u'(x)=2x$, forme $\dfrac{1}{u}$ : $\quad k'(x)=-\dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}$, soit $\boxed{k'(x)=\dfrac{-2x}{(x^{2}+1)^{2}}}$

e) $u(x)=5x-2$, $u'(x)=5$, forme $\mathrm{e}^{u}$ : $\quad m'(x)=\boxed{5\,\mathrm{e}^{5x-2}}$

f) $u(x)=-x^{2}$, $u'(x)=-2x$, forme $\mathrm{e}^{u}$ : $\quad n'(x)=\boxed{-2x\,\mathrm{e}^{-x^{2}}}$

g) $u(x)=x^{2}+9$, $u'(x)=2x$, forme $\sqrt{u}$ : $\quad p'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+9}}=\boxed{\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}}$

h) $u(x)=1-x$, $u'(x)=-1$, forme $u^{4}$ : $\quad q'(x)=4\times(-1)\times(1-x)^{3}=\boxed{-4(1-x)^{3}}$

L'erreur la plus fréquente consiste à oublier $u'(x)$ : on écrirait par exemple $5(2x-7)^{4}$ au lieu de $10(2x-7)^{4}$. Un bon réflexe de contrôle : sur un cas simple comme $(2x)^{2}=4x^{2}$, la dérivée vaut $8x$, et non $2\times 2x=4x$.