Exercice 14

1. $f(x)=x\sqrt{x+1}$ sur $]-1\,;+\infty[$, de la forme $uv$ avec $v=\sqrt{x+1}$ : $$f'(x)=1\times\sqrt{x+1}+x\times\frac{1}{2\sqrt{x+1}} =\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x+1}}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}} =\boxed{\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}}$$ On remarque que pour additionner, on a écrit $\sqrt{x+1}=\dfrac{(x+1)}{\sqrt{x+1}}$.

2. $g(x)=(2x+1)^{3}(x-4)$ sur $\mathbb{R}$ : $$g'(x)=3\times 2\times(2x+1)^{2}(x-4)+(2x+1)^{3}\times 1 =(2x+1)^{2}\Big[6(x-4)+(2x+1)\Big]=\boxed{(2x+1)^{2}(8x-23)}$$

3. $h(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{x+1}$ sur $]-1\,;+\infty[$ : $$h'(x)=\frac{2\mathrm{e}^{2x}(x+1)-\mathrm{e}^{2x}\times 1}{(x+1)^{2}} =\frac{\mathrm{e}^{2x}\big(2x+2-1\big)}{(x+1)^{2}} =\boxed{\frac{(2x+1)\,\mathrm{e}^{2x}}{(x+1)^{2}}}$$

4. $k(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ : $$k'(x)=\frac{\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\times x-\sqrt{x^{2}+1}\times 1}{x^{2}} =\frac{\dfrac{x^{2}-(x^{2}+1)}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x^{2}} =\boxed{\frac{-1}{x^{2}\sqrt{x^{2}+1}}}$$ Ce qui nous donne au passage un résultat utile : $k$ est strictement décroissante sur $]0\,;+\infty[$.